Kořeny mnohočlenů
Přihlásit se
Kořeny mnohočlenů (1/7) · 10:15

Komplexní kořeny kvadratických rovnic Vyřešíme si spolu kvadratickou rovnici, a to pomocí diskriminantu. Kořeny budou komplexní a hned je i oba vyzkoušíme, zda po dosazení splňují danou rovnici.

Navazuje na Rozklad mnohočlenů.
Chystáme se vyřešit příklad 2x na druhou plus 5 se rovná 6x. Takže tady máme kvadratickou rovnici, ale abychom ji vyřešili, dejme ji do tvaru, který je nám známější. Pojďme ji zkusit dát do základního tvaru. A základní tvar je samozřejmě ax na druhou plus bx plus c se rovná 0. A abychom to udělali, musíme vzít výraz 6x a zbavit se ho na pravé straně, abychom měli na pravé straně pouze 0. Abychom toho docílili, stačí pouze odečíst 6x z obou stran rovnice. Takže na pravé straně máme 2x na druhou minus 6x plus 5 se rovná... Na pravé straně se tyto dva výrazy vyruší a zbyde nám jenom 0. Existuje mnoho způsobů, jak tohle vyřešit. Mohli bychom to zkusit rozložit. Kdybych to zkoušel, vydělil bych obě strany číslem 2. Kdybych to udělal, dostal bych celočíselné koeficienty 'x na druhou' a 'x', ale dostanu 5/2 jako konstantu. Takže rozklad v tomto případě není jednoduchý. Mohli bychom doplnit na čtverec, nebo použít vzorec pro výpočet kvadratické rovnice, který vychází z metody doplnění na čtverec. Pojďme to tedy udělat tímto způsobem. Kvadratický vzorec nám říká, že pokud máme něco v základním tvaru, jako je tenhle, výsledné kořeny rovnice budou: -b plus nebo minus (což nám právě tady dává dva kořeny)... Plus nebo minus druhá odmocnina z (b na druhou minus 4ac), to celé děleno 2a. Pojďme to použít v naší situaci. -b... Tohle přesně je 'b'. Takže, '-b' je minus minus 6. Což nám dává +6, plus nebo minus druhá odmocnina z (b na druhou...) -6 na druhou je 36. Minus 4 krát 'a', což je 2, takže krát 2. Krát 'c', což je 5. To celé děleno 2 krát 'a'. 'a' je také 2, takže 2 krát 2 rovná se 4. Tohle se bude rovnat 6 plus nebo minus odmocnina... z 36... Vypočítám to. 36 minus... Tohle je 4 krát 2 krát 5. Tady je tedy 40. Takže 36 minus 40. Už jste možná zvědaví na to, co se tu stane. To celé vydělíme 4. Takže se to celé rovná 6 plus nebo minus odmocnina z -4, správně? 36 minus 40 rovná se -4, děleno 4. A možná si říkáte, no počkej, Sale, pokud vezmu odmocninu z -4, dostanu imaginární číslo. Ano, máte pravdu. Jediné dva kořeny této kvadratické rovnice se ukázaly být komplexní. Protože pokud tohle vypočítáme, získáme imaginární číslo, v podstatě získáme dvě komplexní čísla, když použijeme kladné i záporné verze tohoto kořenu. Pojďme na to. Odmocnina z -4 je to stejné jako 2i. Víme, že je to to stejné jako 2i, nebo o tom přemýšlejme takto: Druhá odmocnina z -4 je to stejné jako druhá odmocnina z -1 krát druhá odmocnina ze 4, což je to stejné. Mohl jsem to udělat v jednom kroku. Je to stejné jako -1 krát 4, celé pod odmocninou, což je stejné jako odmocnina z -1 krát odmocnina ze 4. A odmocnina z -1 je 'i', krát odmocnina ze 4, což je 2. Takže tohle je 2i, neboli 'i' krát 2. Takže to, co je přesně tady, bude 2i. Zbylo nám tedy x rovná se (6 plus nebo minus 2i) děleno 4. A kdybychom to chtěli zjednodušit, mohli bychom vydělit čitatel a jmenovatel dvěma, což by bylo (3 plus minus i) děleno 2. Nebo pokud je chcete napsat jako dvě rozdílná komplexní čísla, můžete to napsat jako (3 plus i) děleno 2, nebo 3/2 plus 1/2 i, což je tady jako kladná verze 'i'. Také se na to můžeme podívat jako na 3/2 minus 1/2 i. Tohle a tohle je ekvivalentní. To jsou ty dva kořeny. Teď chci ověřit, že to funguje. Ověřit oba dva kořeny. Takže tenhle mohu přepsat jako (3 plus i) děleno 2. Tyhle dva jsou ekvivalentní. Můžete vidět, že jediné, co jsem udělal, bylo vydělení obou částí dvěma, nebo pokud byste vytkli jednu polovinu, dostali byste se také k tomuto výrazu. Ten, co je tady, bude (3 minus i) děleno 2. Nebo můžete vycházet přímo z tohoto, to je (3 plus nebo minus i) děleno 2, takže (3 plus i) děleno 2, nebo (3 minus i) děleno 2. To a tohle nebo to a tohle nebo tohle, to jsou všechno rovnocenná zobrazení obou kořenů, ale pojďme se podívat, jestli fungují. Nejprve zkusím tohle zobrazení. Bude to trochu náročné, protože to budeme umocňovat a podobně. Uvidíme, jestli to dokážeme. Co chceme udělat, je, že vezmeme dvakrát tohle na druhou, takže 2 krát ((3 plus i) děleno 2), to celé na druhou, plus 5. A chceme ověřit, že je to to stejné jako 6 krát tohle množství, což je 6 krát (3 plus i) děleno 2. Co je tedy (3 plus i) na druhou? Tohle je 2 krát... Jen to umocním... 3 plus i, to bude 3 na druhou, což je 9, plus 2 krát součin 3 a i. Tedy 3 krát i je 3i, krát 2 je 6i, tedy plus 6i. A pokud vám tohle nedává smysl, doporučuji vám to vynásobit vzhledem k distributivním vlastnostem. V prostřední části dostanete 3i dvakrát, což je 6i, poté přičtete 'i na druhou', 'i na druhou' je -1. Minus 1, to celé děleno 4 plus 5, je rovno... Když vydělíte čitatele a jmenovatele dvěma, dostanete 3 tady a 1 tady. A 3 děleno 3 plus i je rovno 9 plus 3i. A to, co tu máme, můžeme zjednodušit. 9 minus 1 je 8. Pokud se tohohle zbavím, zbude mi 8 plus 6i. Teď můžeme vydělit čitatele a jmenovatele dvěma, takže čitatel bude 4 plus 3i, pokud to vydělíme dvěma, a jmenovatel tady bude tedy 2. Tyhle dvě dvojky se vyruší, takže na levé straně nám zbude 4 plus 3i plus 5, a to musí být rovno 9 plus 3i. Můžete si všimnout, že máme 3i na obou stranách rovnice a máme tu 4 plus 5, což je rovno 9. Takže řešení '3 plus i' určitě funguje, pojďme zkusit '3 minus i'. 3 minus i. Takže se pojďme podívat k původní rovnici, 2x na druhou plus 5 se rovná 6x. Napíšu to sem. Tady máme i původní rovnici. Máme 2x na druhou plus 5 se rovná 6x. Teď vyzkoušíme tenhle kořen a prověříme, jestli funguje. Máme 2 krát ((3 minus i) děleno 2), to celé na druhou, plus 5, musí být rovno 6 krát tohle. 6 krát (3 minus i) děleno 2. Opět trochu zapeklité. Ale pokud budeme dělat vše soustředěně, měli bychom se dostat ke správnému výsledku. Tedy (3 minus i) na druhou, (3 minus i) krát (3 minus i)... Zde získáte praxi v umocňování delších výrazů nebo v tomhle případě komplexních čísel. 3 na druhou bude 9, a potom 3 krát -i, což je -3i, a bude to tu dvakrát. Takže -6i, a potom 'i na druhou', tedy -i na druhou je také -1. To je -1 krát -1, krát i krát i, takže je to také záporné. -i na druhou rovná se -1. -i je další z kořenů rovnice, ne hlavní kořen, ale jeden z kořenů čísla -1. Tohle tedy bude, máme tu +1... Pardon, vlastně zde máme -1, protože je to -i na druhou, což je -1. -1, a to celé vydělíme 4, celé je to tam dvakrát, plus 5 se musí rovnat levé straně. Ještě předtím, než to vynásobím, můžeme vydělit čitatele a jmenovatele dvěma. Tedy 6 děleno 2 je 3 a 2 děleno 2 je 1. 3 krát 3 je 9 a 3 krát -i je -3i. A pokud to zjednodušíme ještě trochu víc, 9 minus 1 bude... (Udělám to modrou barvou.) 9 minus 1 bude 8 a máme 8 minus 6i. Pokud vydělíme (8 minus 6i) dvěma a 4 vydělíme dvěma, v čitateli dostaneme 4 minus 3i a ve jmenovateli dostaneme 2. Vydělíme čitatele i jmenovatele dvěma, máme dvojku zde a také ve jmenovateli, tato dvě čísla se tedy vykrátí. Tenhle výraz se tedy zjednoduší na 4 minus 3i, poté máme plus 5 se musí rovnat 9 minus 3i. Máme -3i na levé i na pravé straně. Vlevo je 4 plus 5. Můžeme to vypočítat. Tato levá strana je 9, 9 minus 3i, což je přesně to stejné komplexní číslo, které máme na pravé straně rovnice, 9 minus 3i. Takže to také souhlasí a je to také kořenem. Ověřili jsme si, že oba komplexní kořeny vyhovují této kvadratické rovnici.
video