Mocniny a odmocniny
Přihlásit se
Mocniny a odmocniny (19/20) · 4:38

Vysvětlení záporného exponentu Vysvětlení, proč (a na -b) = 1/(a na b) a proč (a na 0) = 1.

Byl jsem požádán, abych trochu vysvětlil proč, řekněme, (a na -b) se rovná 1 lomeno (a na b). A předtím, než vám to vysvětlím, chci, abyste si uvědomili, že tohle je pouze definice. Nevím. Vynálezce matematiky nebyl jen jeden člověk. Byla to taková úmluva, která vznikla. Ale definovali to, a definovali to právě z důvodu, který vám teď ukážu. Vlastně vám ukážu jeden z důvodů a pak uvidíte, že je to dobrá definice, protože až se naučíte pravidla pro počítání s mocninami, všechna další pravidla zůstanou stejná i pro záporné exponenty a také když budete umocňovat na 0. Podíváme se na kladné exponenty. Myslím, že se dají lehce pochopit. Takže kladné exponenty, máme 'a' na 1, 'a' na 2, 'a' na 3, 'a' na 4. Kolik je (a na 1)? 'a' na 1 je 'a'. Abychom se dostali k (a na 2), co uděláme? Vynásobíme 'a', že? (a na 2) je (a krát a). A co uděláme, abychom dostali (a na 3)? Opět vynásobíme 'a'. A znova, co uděláme, abychom dostali (a na 4)? Opět vynásobíme 'a'. Obráceně si to můžete představit, co děláte, když snižujete exponenty? Násobíte 1 lomeno 'a', nebo dělíte 'a'. Podobně, opět snížujete exponent, dělíte 'a'. Abyste se dostali z (a na 2) na (a na 1), dělíte 'a'. Použijme tenhle postup k zjištění, kolik je (a na 0). Tohle je první problém. Takže (a na 0). Jste vynálezce, zakladatel matematiky a musíte definovat, kolik je (a na 0). A možná je to 17, možná je to π. Já nevím. Je na vás rozhodnout, kolik je (a na 0). Ale nebylo by hezké, kdyby si (a na 0) zachovalo tento vzor? Kdykoliv snižujete exponent, dělíte jej 'a', že? Když jdete z (a na 1) na (a na 0), nebylo by pěkné to prostě vydělit 'a'? Udělejme to. Máme-li (a na 1), což je jen 'a', vydělíme ho 'a', … prostě ho vydělíme 'a'. Kolik je 'a' děleno 'a'? Je to právě 1. To je definice. Nebo to je jedno z vysvětlení, proč něco umocněno na 0 se rovná 1. Protože když vezmete číslo a vydělíte ho sebou samým, dostanete 1. To docela dává smysl, ale teď přejdeme do záporných čísel. Kolik by se mělo rovnat (a na -1)? Opět by bylo dobré si zachovat tento postup, kdy při snižování exponentu dělíte 'a'. Vydělme opět 'a', takže 1 lomeno 'a'. Máme (a na 0) a dělíme ho 'a'. (a na 0) je 1, takže kolik je 1 děleno 'a'? Je to 1 lomeno 'a'. Udělejme to ještě jednou, a pak pochopíte tento postup. Ale myslím, že už jste ho pochopili. Kolik je (a na -2)? Chceme… bylo by pošetilé teď měnit postup. Kdykoliv snižujeme exponent, dělíme 'a'. Abysme se z (a na -1) dostali na (a na -2), vydělíme to znova 'a'. Co dostaneme? Když (1 lomeno a) vydělíte 'a', dostanete 1 lomeno (a na 2). A mohli byste tento postup uplatňovat dál a dostali byste se k (a na -b) se rovná 1 lomeno (a na b). Snad jsem vám to trochu vysvětlil. Především už víte, tu velkou záhadu, proč se něco umocněno na 0 rovná 1? Za prvé, pamatujte si, že je to jen definice. Někdo rozhodl, že se to bude rovnat 1, ale měl dobrý důvod. A jeho důvodem bylo zachovat tento postup. A to je ten samý důvod, proč definovali záporné exponenty právě takto. A skvělé na tom je, nejenom že se zachová postup, že když snižujete exponenty, dělíte 'a', nebo když zvyšujete exponenty, násobíte 'a', ale jak uvidíte ve videu Pravidla pro počítání s mocninami, všechna pravidla platí. Všechna pravidla pro počítání s mocninami jsou v souladu s definicí umocňování na 0, a s definicí umocňování na záporný exponent. Snad vás to nezmátlo a trochu jsem vám to vysvětlil, protože to může být trochu nesrozumitelné, když se to učíte poprvé.
video