Mocniny a odmocniny
Přihlásit se
Mocniny a odmocniny (13/20) · 10:19

Odmocniny a reálná čísla Ukážeme si pár příkladů na částečné odmocňování a pokusíme se zjistit, zda jsou daná čísla racionální či iracionální.

Máme tu několik výrazů pod odmocninou. Pokusíme se je projít, zjednodušit je a určit, zda jde o racionální nebo o iracionální čísla. Začneme s příkladem (a). Příklad (a) je druhá odmocnina z 25, což je to samé jako druhá odmocnina z 5 krát 5. Je zřejmé, že tedy vyjde 5. Hledáme teď kladný výsledek odmocniny. Teď se koukněme na příklad (b). Udělám ho jinou barvou. Hledáme kladný výsledek odmocniny (b). Máme tu odmocninu z 24. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin prvočísel. Číslo 24 se rozloží na součin 2 krát 12. 12 dostaneme, když 6 vynásobíme 2. A 6 je 2 krát 3. Takže odmocnina z 24 je vlastně to samé jako odmocnina z prvočíselného rozkladu 2 krát 2 krát 2 krát 3. To je to samé jako 24. Zde máme 2 dvojky. Můžeme to tedy přepsat na odmocninu z 2 krát 2, krát odmocnina z 2 krát 3. Toto je zjevně 2. Je to odmocnina ze 4 a to je 2. Místo první odmocniny dostaneme tedy 2, a druhou nemůžeme odmocnit. Dostáváme tedy výsledek, který je 2 krát odmocnina ze šesti. Tento výsledek se dá vyjádřit také jinak, jako 2 krát odmocnina ze 2 krát odmocnina ze 3. Teď bych chtěl říci, jestli jsou tyto čísla racionální. (a) je racionální, lze totiž rozložit jako podíl dvou prvočísel, 5 lomeno 1. Naopak (b) je zcela určitě iracionální, nebudu to ale dokazovat v tomto videu. Nicméně dá se říci, že každá odmocnina z prvočísla je irracionální. Odmocnina ze 6 je vlastně odmocnina z 2 krát 3, takže z prvočísel. Je tedy jasné, že odmocnina ze 6 je iracionální číslo. Odmocninu ze 6 nemůžu vyjádřit žádným zlomkem, jde tedy o iracionální číslo. Naopak číslo (a) jsem zlomkem úspěšně vyjádřil. Číslo (b) v žádném případě nejde vyjádřit jako podíl. Nesnažím se nic matematicky dokazovat, chci jenom, abyste se trochu pocvičili. Rychlejší způsob, jak na to, spočívá v uvědomění si, že odmocnina z 4 je krásná odmocnina, proč bych si ji tedy nevzal, neodmocnil a nedostal bych tedy výsledek hned. Na což potom rychle přijdete také, ale zezačátku to budu dělat více systematicky. Teď pojďme na (c), odmocnina z 20. 20 opět rozložíme na součin prvočísel, tedy 2 krát deset a 10 je 2 krát 5. Odmocnina z 20 je tedy to samé jako odmocnina z 2 krát 2 krát 5. Ted je tedy jasné, že dostaneme odmocninu ze 4, která je tedy 2. Napíšeme si tedy 2 krát odmocnina z 5. A zase jednou si to můžete udělat z hlavy: 20 je 4 krát 5, odmocnina ze 4 je 2 a 5 zůstane pod odmocninou. Ted se pojďme podívat na (d). Odmocnina z 200. Postup je pořád stejný. Rozložíme číslo 200 na prvočísla jako předtím. Dostaneme 2 krát 100, 100 je 2 krát 50, 50 je 2 krát 25 a 25 je 5 krát 5 Můžeme si to tedy přepsat jako odmocninu z 2 krát 2 krát 2 krát 5 krát 5. Dostaneme jednu ideální odmocninu. Teď si to přehledně rozepíšeme, dostaneme odmocninu z (2 krát 2) krát odmocnina z 2 krát odmocnina z (5 krát 5). Když odmocníme 2 krát 2 a 5 krát 5, dostaneme 2 krát 5, ale bohužel ještě zbývá odmocnina ze 2. A 2 krát 5 je 10, tedy dostáváme 2 krát 5. Znovu opakuji, že odmocnina ze 2 je iracionální číslo. Nemůžete ho vyjádřit jako zlomek, jako čitatel se jmenovatelem. No a kdybyste se toto číslo snažili nějak vyjádřit, bude to nekonečné. Navíc se v něm cifry ani nebudou opakovat. Vrhněme se proto radši na (e). Odmocnina z 2000. Udělám to tady dole. Odmocnina z 2000. Jde o to si číslo 2000 opět rozložit na součin prvočísel. 2000 je vlastně 2 krát 1000, což je 2 krát 500, 500 je 2 krát 250 250 je 2 krát 125, 125 je 5 krát 25 a 25 je 5 krát pět. Hurá! Zvládli jsme to. Odmocnina z 2000 se tedy bude rovnat odmocnině z 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 5 krát 5 krát 5, tedy máme třikrát 5 a čtyřikrát 2. Čemu se to bude rovnat? Ted můžu čísla v závorkách násobit čili dostávám odmocninu z (4 krát 4 krát 25 krát 5). To si můžu rozdělit pod víc odmocnin. Můžu si napsat, že náš výraz se rovná odmocnině ze 4 krát 4 krát odmocnina z 5 krát 5 krát odmocnina z 5. První výraz pod odmocninou je zřejmě 4. Druhý je jasná 5. A bohužel poslední odmocnina zůstává z 5. Takže 4 krát 5 je 20. Výsledek je tedy 20 krát odmocnina z 5. Znovu tedy dostáváme irracionální číslo. Teď se vrhneme na příklad (f). (f) je odmocnina z 1/4. Odmocnina z 1/4 je vlastně to samé jako odmocnina z 1 lomeno odmocninou ze 4. Což se rovná jedné polovině. Jasně jde o racionální číslo, může být totiž vyjádřeno hned několika zlomky. Pojďme se podívat na příklad G. G je odmocnina z 9/4. Zjistíme, že jde vlastně o odmocninu z 9 děleno odmocninou ze 4. Což se rovná 3/2. Ted pokročíme k příkladu H. Odmocnina ze 0,16. Ti odvážnější to můžou samozřejmě vyřešit z hlavy, pokud hned poznáte, že 0,4 krát 0,4 je 0,16 Pak je to snadné. Ale já vás naučím univerzální způsob, jak na to přijít více systematicky. Pokud vám to nebylo jasné. Toto je vlastně stejná věc jako odmocnina z 16/100. To je totiž přesně to, co odmocnina z 0,16 je. Odmocnina z podílu je podíl odmocnin, tedy náš příklad se rovná odmocnina ze 16 lomeno odmocnina ze 100 Dále se to potom rovná 4/10, tedy vlastně 0,4. Pojďme na předposlední příklad. Příklad (i) je odmocnina z 0,1. A to se vlastně rovná odmocnině z 1 lomeno odmocnině z 10. Neboli 1 lomeno odmocnině z 10, 10 je vlastně 2 krát 5, což nám nepomůže. Mohli bychom se ještě zbavit odmocniny ze jmenovatele. Hodně učitelů totiž nemá rádo odmocniny ve jmenovateli. Je ale jasné, že půjde o iracionální číslo. Zkuste si ho zadat do kalkulačky Vypočítá ho vždy jen přibližně, nikdy ne přesně K tomu abyste ho měli přesně byste potřebovali nekonečně velké množství číslic. Ale jestli se chcete zbavit odmocniny ve jmenovateli, můžete tento zlomek rozšířit odmocninou z 10. Tedy vlastně vynásobit odmocninou z 10 lomenou další odmocninou z 10. Dostanete tedy odmocninu z 10 lomenou 10. Toto jsou ekvivalentní vyjádření, ale obě dvě jsou stále iracionální čísla. Iracionální číslo lomeno racionálním číslem je pořád číslo iracionální. Teď nás čeká poslední příklad (j). Máme odmocninu z 0,01. My už víme, že to je to samé jako kdybychom měli odmocninu z 1 lomenou odmocninou ze 100 Využijeme pravidla, že odmocnina podílu je podíl odmocnin, odmocníme a dostaneme 1/10. Tedy 0,1, což je racionální číslo. Může být tedy napsáno jako zlomek, podobně jako předchozí racionální čísla.
video