Mocniny a odmocniny
Přihlásit se
Mocniny a odmocniny (18/20) · 7:14

Záporné exponenty Co se stane, když v mocnině máme záporné mocnitele (exponenty)? Ukážeme si, jak takovými mocninami můžeme pracovat a dál je převádět.

Již víme, že 2^4 můžeme napsat tak, že začneme s 1 a tu vynásobíme čtyřikrát za sebou dvojkou. Ukáži vám to. 1 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2 se rovná.. 2 krát 2 jsou 4, krát 2 je 8 a krát 2 je 16. Výsledek je tedy 16. Zeptám se vás na něco zajímavějšího. Kolik si myslíte, že je 2^-4? Zkuste na chvilku zastavit video a zamyslet se nad tím. Nejspíše vás napadá, že by to mohlo být minus 16 nebo něco podobného. Uvědomte si, co se vlastně děje při umocňování. Napovědět nám může úvaha: kolik je 2 na -1? Ale tady máme vynásobit minus čtyřikrát. Co s tím? Dobře, co tedy vlastně znamená minus? Minus chápeme jako opak. Zde to znamená, kolikrát budeme násobit. Nemohl by záporný exponent znamenat, kolikrát, začneme-li 1, ji budeme dělit 2? Trochu se nad tím zamyslíme. Dostaneme tedy 1 a vydělíme čtyřikrát dvojkou. Víme, že dělit 2 je stejné jako násobit 1/2. Dostaneme 1 krát 1/2 krát 1/2 krát 1/2 krát 1/2. Poznamejme, že násobit 1/2 čtyřikrát je úplně stejné jako dělit 2 čtyřikrát. Takže 1 krát 1/2 je 1/2, krát 1/2 je 1/4, krát 1/2 je 1/8, krát 1/2 je 1/16. Ve výsledcích můžeme vidět souvislost. Základem je, že začnete 1 a čtyřikrát vydělíme 2. Můžete také říct, že 2, použiji stejnou barvu, 2 na minus 4 je totéž, co 1 děleno 2 na 4. Barevně znázorním, co znamená záporný exponent. Udělám to jinou barvou, aby to bylo lépe vidět. Toto minus znamená, že musíme psát 1 lomeno. Takže 2^-4, podle příkladu výše, je ekvivalentní s převrácenou hodnotou 2^4, tedy 1 lomeno (2^4). Dostaneme tedy 1 lomeno (2 krát 2 krát 2 krát 2), protože 2^4 znamená čtyřikrát za sebou násobit dvěma. Také byste mohli použít příklad nahoře a začít s 1 a pak násobit dvěma čtyřikrát. Výsledek je v každém případě 1/16. Ukážeme si to na dalších příkladech, abyste to dobře pochopili. Kolik je 3^-3? Vždycky, když vidíte záporný exponent, řekněne si, že potřebujete převrácenou hodnotu Toto se tedy rovná, zvýrazním -1 lomeno 3^3. To se rovná, 1 lomeno (3 krát 3 krát 3). 3 krát 3 krát 3 je 27. Výsledek je tedy 1/27. Zkusme další příklad. Spočítáme ještě dva nebo tři. Pojďme zkusit záporné číslo se záporným exponentem. Kolik je -4 na ... Uděláme menší číslo. Kolik je -2^-3? Opět zvýrazním znaménko minus. Možná vás to teď trochu mate. Nevykrátí se minusy? Asi si vzpomínáte na násobení záporných čísel. To zde nepoužívejte. Máme zde záporný exponent, takže nás pouze zajímá převrácená hodnota výrazu s kladným exponentem. To se tedy rovná 1 lomeno -2^3. A to se rovná 1 lomeno -2 krát -2 krát -2. Před součinem ve jmenovateli si můžete přidat 1 krát. Dostaneme -1/8. (...) Výsledek je -1/8. Pojďme udělat poslední příklad. Pojďme zkusit (5/8)^-2. Opět máme záporný exponent, ale základem je zlomek. Zase to pouze znamená 1 lomeno ((5/8)^2). Je to stejný princip jako v předchozích příkladech. Takže to můžeme přepsat jako 1 lomeno ((5/8)^2). To se rovná 1 lomeno ((5/8)*(5/8)), což se rovná 25/64. A 1 lomeno 25/64 je 64/25. Také se na to pohlížet jako převrácená hodnota umocněná na kladný exponent. Takže (5/8)^-2 můžeme spočítat tak, že nejdříve najdeme jeho převrácenou hodnotu. To je 8/5. Pak stačí umocnit (8/5)^2 a máme výsledek. Oba dva postupy jsou ekvivalentní a dají se uplatnit, i když základem není zlomek. Ukážeme si to na příkladu 2^-4. Můžeme nejdříve určit převrácenou hodnotu, což je 1/2, a tu umocnit na 4.
video