Výrazy s mocninami
Přihlásit se
Výrazy s mocninami (1/10) · 14:01

Základní vzorečky pro práci s mocninami Seznámení s mocninami. Jejich vlastnosti jsou zde shrnuty do tří základních vzorců.

Navazuje na Mocniny a odmocniny.
V tomto videu si ukážeme některé příklady, ve kterých využijeme vlastnosti mocnin. Ale než začneme, pojďme si říct, co taková mocnina vlastně je. Řekněme, že mám 2 na třetí. Možná byste chtěli říct, no jo, to je přece 6, ale to byste neměli pravdu, 6 to není. Znamená to, že se 2 násobí sama sebou, dokonce třikrát. Toto se tedy bude rovnat 2 krát 2 krát 2, což je rovno 2 krát 4, 4 krát 2 je rovno 8. Kdybych se zeptal, jak bude vypadat 3 umocněno na druhou tedy 3 na druhou, bylo by to rovno 3 krát 3. Což je rovno 9. Vypočítejme další takový. Myslím, že už začínáte tušit, pokud jste to ještě neznali. Řekněme, že máme 5 na sedmou. To se rovná 5 krát samo sebou sedmkrát. 5 krát 5 krát 5 krát 5 krát 5 krát 5 krát 5. Je jich sedm, že? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tohle bude opravdu velmi, velmi vysoké číslo, nebudu ho ani vyčíslovat. Chcete-li si to zkusit zkusit sami, není problém, nebo použijte kalkulačku. Každopádně je to velmi, velmi velké číslo. Takže jeden z poznatků je, že se mocniny velmi rychle zvětšuji. 5 na sedmnáctou by bylo neuvěřitelné číslo. Nicméně to byl takový náhled na mocniny. Pojďme se ponořit do algebry, kde mocniny využijeme. Čemu by se rovnalo, počkejte vezmu si na to jinou barvu, čemu by se rovnalo ‚3x‘ krát ‚3x‘ krát ‚3x‘? Jedna důležitá věc, kterou si o násobení připomeneme, je úplně jedno, v jakém pořadí členy vynásobíte. Bude to tedy úplně to samé jako 3 krát 3 krát 3 krát ‚x‘ krát ‚x‘ krát ‚x‘. A s ohledem na to, co jsme si teď řekli, tahle část, 3 krát 3, třikrát, to je třetí mocnina 3. Tedy ‚x‘ krát samo sebou, třikrát. To je ‚x‘ na třetí. Tohle celé se dá přepsat jako 3 na třetí krát ‚x‘ na třetí, nebo si můžeme říct, čemu se rovná 3 na třetí, tedy 9 krát 3, což je 27. Tedy 27 krát ‚x‘ na třetí. Možná jste si řekli, počkat, ‚3x‘ krát ‚3x‘ krát ‚3x‘. Nebylo to ‚3x‘ na třetí? ‚3x‘ se násobilo samo sebou třikrát. Ano, bylo to tak. Tohle se tedy dá vyjádřit jako ‚3x‘ na třetí. A tady jsme narazili na jednu z vlastností mocnin. Všimněte si toho. Když násobíme dva členy a to celé bude na třetí, bude to rovno členu na třetí krát druhý člen na třetí. Tedy ‚3x‘ na třetí bude to samé jako 3 na třetí krát ‚x‘ na třetí, což je 27 krát ‚x‘ na třetí. Pojďme si spočítat pár dalších příkladů. Co kdybych se vás zeptal, čemu se rovná 6 na třetí krát 6 na šestou? A bude to opravdu obrovské číslo. Chci to zapsat jako mocninu šesti. 6 na šestou si zapíšeme jinou barvou. 6 na třetí krát 6 na šestou, čemu se to bude rovnat? 6 na třetí, o tom víme, že to je 6 krát samo sebou, třikrát. Tedy 6 krát 6 krát 6. A to celé krát, zde to máme v zelené, napíšu to v zelené. Možná to napíšu obojí oranžově. Bude to krát 6 na šestou. Čemu se rovná 6 na šestou? To je 6 krát samo sebou šestkrát. 6 krát 6 krát 6 krát 6 krát 6 a ještě jednou krát 6. Takže jaké bude to celé číslo? Násobíme číslo 6 samo sebou. Kolikrát? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, celkem tedy devětkrát. Třikrát tady a ještě šestkrát zde. Takže 6 vynásobíme samo sebou celkem devětkrát. 3 plus 6. To bude tedy rovno 6 na třetí plus 6 na šestou. Neboli 6 na devátou. Takto jsme se dostali k další vlastnosti mocnin. Když se bavíme o mocninách, v případě 6 na třetí bude číslo 6 základ. Základ 6, nad ním mocnitel 3. V případě stejného základu a jiných mocnitelů vlastně stačí mocnitele sečíst. Ukažme si pár takových příkladů. V purpurové barvě. Řekněme, že máme 2 na druhou krát 2 na čtvrtou krát 2 na šestou. Máme zde stejný základ, můžeme sečíst mocnitele. Bude to rovno 2 na (2 plus 4 plus 6), tedy 2 na dvanáctou. A snad to je srozumitelné, tedy 2 krát samo sebou dvakrát, 2 krát samo sebou čtyřikrát a 2 krát samo sebou šestkrát. Když je všechny vynásobíme, bude to 2 krát samo sebou dvanáctkrát neboli 2 na dvanáctou. Popišme si to trochu abstraktněji, pomocí proměnných, ale myšlenka zůstane stejná. Co je ‚x‘ na druhou krát ‚x‘ na čtvrtou? Využijeme to, co jsme si zrovna ukázali. Máme stejný základ, tedy ‚x‘. Bude to tedy ‚x‘ na druhou plus čtvrtou. Tedy ‚x‘ na šestou. Nebo ještě jinak, čemu se rovná ‚x‘ na druhou? To se rovná ‚x‘ krát ‚x‘. A když máme ‚x‘ na čtvrtou, násobíme ‚x‘ samo sebou čtyřikrát. Tedy ‚x‘ krát ‚x‘ krát ‚x‘ krát ‚x‘. Kolikrát násobíme ‚x‘ samo sebou zde? No přeci 1, 2, 3, 4, 5, 6, celkem šestkrát. Máme zde ‚x‘ na šestou. Ukažme si další příklad. Čím více takových příkladů, tím lépe. Ukážeme si další vlastnost. Řekněme, že máme ‚a‘ na třetí to celé na čtvrtou. Ukážu vám tu vlastnost a vysvětlím, proč funguje. Mocníte-li něco na nějaký mocnitel a poté to umocníte znovu, stačí tyto mocnitele vynásobit. Bude to tedy ‚a‘ na třetí krát čtvrtou. Tedy na 3 krát 4, což znamená na 12. A proč to tak funguje? Zde máme ‚a‘ na třetí krát samo sebou celkem čtyřikrát. Je to rovno ‚a‘ na třetí krát ‚a‘ na třetí krát ‚a‘ na třetí krát ‚a‘ na třetí. Máme zde stejný základ, můžeme sečíst mocnitele. Zde to bude 3 krát 4, že? Je to rovno ‚a‘ na 3 plus 3 plus 3 plus 3, což je to samé jako 3 krát 4, tedy 12, takže na dvanáctou. Zopakujme si, co jsme si zatím řekli v tomto videu, kromě toho, co vlastně mocnina je, pokud máme ‚x‘ na ‚a‘ krát ‚x‘ na ‚b‘, bude se to rovnat ‚x‘ na ‚a‘ plus ‚b‘. To už jsme zde viděli. ‚x‘ na druhou krát ‚x‘ na čtvrtou se rovná ‚x‘ na šestou, tedy na 2 plus 4. Viděli jsme také, že pokud máme ‚x‘ krát ‚y‘ to celé na ‚a‘, bude to totéž jako ‚x‘ na ‚a‘ krát ‚y‘ na ‚a‘. To jsme viděli dříve v tomto videu, viděli jsme to tady. ‚3x‘ na třetí bude to samé jako 3 na třetí krát ‚x‘ na třetí. To je samé, co teď říkám. ‚3x‘ na třetí se rovná 3 na třetí krát ‚x‘ na třetí. A poslední vlastnost, na kterou jsme narazili. Pokud máme ‚x‘ na ‚a‘ a to celé na ‚b‘, pak se to bude rovnat ‚x‘ na (‚a‘ krát ‚b‘). A to jsme viděli zde. ‚a‘ na třetí a to celé na čtvrtou, to bude to samé jako ‚a‘ na 3 krát 4, tedy ‚a‘ na dvanáctou. Pojďme tedy využít tyto poznatky v trochu složitějších příkladech. Řekněme, že máme 2 krát ,x' krát (,y' na druhou) krát minus ‚x‘ na druhou krát ‚y‘ to celé na druhou krát 3 krát ,x‘ na druhou krát ‚y‘ na druhou. A chceme to zjednodušit. Můžeme si to vzít jako minus 1 krát ‚x‘ na druhou krát ,y', to celé na druhou. Když si vezmeme, že to celé je na druhou, bude to to samé jako kdyby každý člen byl na druhou. Zde bychom to mohli zjednodušit na (-1) na druhou, krát (‚x‘ na druhou) na druhou, krát ‚y‘ na druhou. Pokud bychom měli zjednodušit toto, (-1) na druhou je 1, (‚x‘ na druhou) na druhou, vzpomeňte si, můžete vynásobit mocnitele, to bude ,x' na čtvrtou krát ,y' na druhou Takto se zjednoduší prostřední člen. Podívejme se, zda se to dá s těmi ostatními členy spojit. Zde máme ‚2xy‘ na druhou a potom 3 krát ,x‘ na druhou krát ‚y‘ na druhou. Takže si to celé pojďme roznásobit. A jak už víme, při násobení nezáleží na pořadí. Takže si to mohu přehodit. Vynásobíme 2 krát ‚x‘ krát ‚y‘ na druhou krát ‚x‘ na čtvrtou krát ‚y‘ na druhou krát 3 krát ‚x‘ na druhou krát ‚y‘ na druhou. Mohu si přehodit tak, aby se mi to lépe upravovalo. A to tak, že si mohu vynásobit 2 krát 3 a až potom se budu zabývat výrazy s ‚x‘. Ukážu to v jiné barvě. Potom si vynásobím ‚x‘ krát ‚x‘ na čtvrtou krát ‚x‘ na druhou. A až poté se podívám na výrazy s ‚y‘, tedy ‚y‘ na druhou krát další ‚y‘ na druhou krát ještě jedno ‚y‘ na druhou. A teď mě zajímá, čemu se to celé rovná. Tedy 2 krát 3, to byste asi zvládli, to se rovná 6. A čemu se rovná ‚x‘ krát ‚x‘ na čtvrtou krát ‚x‘ na druhou. Pomůže nám, že ‚x‘ je totéž jako ‚x‘ na prvou. Cokoli na prvou bude to samé číslo, takže například 2 na prvou bude stále jen 2. 3 na prvou bude stále 3. Takže čemu se bude rovnat tohle? Máme stejný základ, 'x‘, takže sečteme mocnitele. Máme zde ‚x‘ na 1 plus 4 plus 2, sečteme si je v dalším kroku, potom tu máme ‚y‘, u kterého máme ‚y‘ na 2 plus 2 plus 2. A co nám to dá celkově? Dá nám to 6 ‚x‘ na sedmou a ‚y‘ celkem na šestou. Nechám vás se zamyslet nad další, relativně zajímavou věcí. Otázka zní, co se stane, když máme číslo nebo výraz na nultou. Když bych řekl 7 na nultou, čemu by se to rovnalo? A odpověď bude možná znít trochu nelogicky, bude se to rovnat 1. Takže třeba i 1 na nultou se bude rovnat 1. Cokoli na nultou, každé nenulové číslo na nultou, se bude vždy rovnat 1. A vysvětlím vám proč. Zamysleme se nad tím třeba takto. 3 na prvou, 3 na druhou, na třetí. Pojďme si to ukázat na čísle 3. 3 na prvou je 3. To myslím dává smysl. 3 na druhou bude 9. 3 na třetí bude 27. A samozřejmě chceme zjistit, co bude 3 na nultou. Zamysleme se. Pokaždé, když snížíme mocnitel, tedy když snížíme mocnitel o 1, vlastně dělíme 3. Pokud půjdeme od 27 k 9, vlastně vydělíme 3. Postupujeme dál, od 9 k 3, opět dělíme 3. Abychom postoupili k mocniteli '0', opět vydělíme 3. A to je důvod, proč každý základ na nultou, v tomto případě 3 na nultou, se bude rovnat číslu 1. Uvidíme se v příštím videu.
video