Výrazy s mocninami
Přihlásit se
Výrazy s mocninami (2/10) · 9:23

Jak správně násobit mocniny? Názorné vysvětlení vzorce pro násobení mocnin. To nám říká, že při násobení mocnin se stejným základem mocnitele sčítáme.

Navazuje na Mocniny a odmocniny.
Pojďme udělat pár příkladů s mocninami, které obsahují dělení. Kdybych se vás zeptal, kolik je 5 na šestou děleno 5 na druhou? Můžeme využít základní definice toho, co mocnina představuje a říci, že 5 na šestou je 5 krát 5 krát 5 krát 5 krát 5 a ještě jednou krát 5. Pětka násobená sama sebou šestkrát. A 5 na druhou, to je pětka násobená sama sebou dvakrát. Takže jen 5 krát 5. Víme, jak zjednodušíme zlomky nebo racionální výrazy tohoto typu. Můžeme vydělit čitatele i jmenovatele 5, čímž se nám toto vykrátí, a potom to můžeme udělat znovu pětkou. Takže tato a tato pětka se vykrátí. Co nám zbyde? 5 krát 5 krát 5 krát 5 lomeno 1. Nebo můžeme říci 5 na čtvrtou. Všimněte si, co se stalo. Nejdříve jsme měli šest pětek v čitateli, šest pětek násobených sebou samými v čitateli, a potom jsme je odečetli. Byli jsme schopni zbavit se dvou pětek ve jmenovateli. Takže to bylo rovno 5 na (šest bez dvou). Takže jsme byli schopni odečíst mocnitel ve jmenovateli od mocnitele v čitateli. Vzpomeňme si, jak podobné je to u násobení. Kdybych měl 5…udělám to jinou barvou. 5 na šestou krát 5 na druhou, jak jsme viděli v minulém videu, je rovno 5 na (šestou plus… Snažím se to udělat barevně. …šestou plus druhou). Teď známe novou vlastnost. A v dalším videu uvidíme, že to vlastně nejsou různé vlastnosti. Jsou to vlastně dvě strany jedné mince, až se dozvíme o záporných mocnitelích. Ale v tomto videu vidíme, že 5 na šestou děleno 5 na druhou… Udělám to jinou barvou. …bude rovno 5 na… Je to časově náročné, takhle to pro vás vybarvovat. …5 na (šestou minus druhou), tedy 5 na čtvrtou. Tady to bude 5 na osmou. Násobíte-li mocniny se stejným základem, sčítáte mocnitele. Když dělíte se stejným základem, tak odečtete mocnitele jmenovatele od mocnitele čitatele. Udělejme několik dalších příkladů. Kolik je 6 na sedmou děleno 6 na třetí? Znovu využijeme této vlastnosti. Bude to 6 na (sedmou minus třetí), což je 6 na čtvrtou. Mohli byste to vynásobit stejně jako předtím a ověřit si, že to skutečně bude 6 na čtvrtou. Udělejme teď něco zajímavého. Tohle bude dobrý úvod do dalšího videa. Řekněme, že máme 3 na čtvrtou děleno 3 na desátou. Kdybychom na to šli podle základních pravidel, bylo by to 3 krát 3 krát 3 krát 3, to celé lomeno 3 krát 3…bude jich 10… krát 3 krát 3 krát 3 krát 3 krát 3, Kolik jich je? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… 8…9…10. Kdybychom to udělali jako minule, tato 3 se vykrátí s touto 3. Tyto 3 se vykrátí. Tyto 3 se vykrátí. Tyto 3 se vykrátí. A zbyde nám 1 lomeno 1, 2, 3, 4, 5, 6 trojek. Takže 1 lomeno 3 na šestou, že? Máme 1 lomeno všechny tyto trojky dole. Ale ta vlastnost, o které jsem vám řekl, vám říká, že by se to také mělo rovnat 3 na (čtvrtou minus desátou). No, kolik je 4 minus 10? Získáte záporné číslo. To bude 3 na (minus šestou). Pomocí té vlastnosti, kterou jsme viděli, dostáváme 3 na (minus šestou). Pomocí roznásobení, dostanete 1 lomeno 3 na šestou. A zábavné na tom je, že to jsou stejná množství. Teď se dozvídáme trochu o tom, co znamená mít záporný mocnitel. 3 na (minus šestou) je rovno 1 lomeno 3 na šestou. Udělám na to mnohem víc příkladů v dalším videu. Pokud umocňujete na záporný mocnitel, tedy 'a' na (minus 'b'), je to rovno 1 lomeno 'a' na 'b'. To je věc, kterou jsme právě teď dokázali. A dříve v tomto videu jsme viděli, že když mám 'a' na 'b' lomeno 'a' na 'c', tak je to rovno 'a' na ('b' minus 'c'). To je další vlastnost, kterou jsme používali. Pomocí toho, co jsme se právě naučili a toho, co jsme se naučili minule, vyřešme teď několik komplikovanějších úloh. Řekněme, že mám 'a' na třetí, 'b' na čtvrtou lomeno 'a' na druhou, 'b' a to celé na třetí. Můžeme použít to, co jsme se právě naučili a zjednodušit vnitřek. To bude rovno… 'a' na třetí děleno 'a' na druhou. To je 'a' na (třetí minus druhou), že? To se zjednoduší pouze na 'a'. Představte si, že to je (a krát a krát a) děleno (a krát a). Nahoře máte 'a'. Teď 'b', 'b' na čtvrtou děleno 'b', tak to bude jen 'b' na třetí, že? Tohle je 'b' na prvou. 4 minus 1 je 3. A pak celá závorka na třetí. Nechceme zapomenout na tu třetí mocninu. Tato třetí mocnina je tato. Vybarvím ji. Ta třetí mocnina je tato. A pak oranžové 'a' je tohle 'a'. Myslím, že chápeme, co vychází z čeho. A teď můžeme využít té vlastnosti, že když něco násobíme a umocníme na třetí, je to stejné jako vzít každé z nich… Bude to rovno 'a' na třetí krát ('b' na třetí) na třetí. A to bude rovno 'a' na třetí krát 'b' na (třetí krát třetí), krát 'b' na devátou. A tak jsme to zjednodušili, jak jen to jde. Udělejme ještě jeden takový. Myslím, že je to dobré cvičení a super-užitečná zkušenost na později. Řekněme, že mám 25x, (y na šestou) lomeno 20 (y na pátou), 'x' na druhou. Znovu bychom mohli přeskládat čitatel a jmenovatel. Tohle bychom mohli zapsat jako 25 lomeno 20, krát 'x' lomeno (x na druhou), že? Tohle dole jsme mohli napsat jako 20 (x na druhou) (y na pátou), nezáleží v jakém pořadí to napíšeme. …krát (y na šestou) lomeno (y na pátou). A využijme našich nově nabytých znalostí, které jsou vlastně jen úpravy zlomků. 25 lomeno 20, vydělíte-li oba pěti, bude to 5 lomeno 4. x děleno (x na druhou), jsou dva způsoby, jak o tom přemýšlet. Můžete to brát jako 'x' na (minus první). Máte tu první mocninu. 1 minus 2 je -1. Takže tohle je 'x' na (minus první). Nebo to můžete brát rovno 1 lomeno x. Je to ekvivalentní. Řekněme tedy, že se to rovná 1 lomeno x. A bylo by to tak. x lomeno (x krát x). Jeden pár 'x' by se pokrátil a zůstalo by vám 1 lomeno x. A pak konečně, (y na šestou) lomeno (y na pátou), to je 'y' na (šestou minus pátou), což bude 'y' na první, tedy krát 'y'. Kdybychom to chtěli zapsat jako jeden racionální výraz, měli bychom 5 krát 1 krát y, což by bylo 5y, to celé lomeno 4 krát x, že? Tohle je 'y' lomeno 1, takže 4 krát 'x' krát 1…to celé lomeno 4x. A úspěšně jsme to zjednodušili.
video