Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (1/18) · 7:02

Úvod do logaritmů Co jsou to logaritmy a jaký mají vztah s exponenciálami? Toto video je velmi důležité k pochopení celého konceptu.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Pojďme se dozvědět něco o málo o logaritmech. Pracovat s mocninami už umíme. Takže když řeknu 2 na 4, co to znamená? Znamená to 2 krát 2 krát 2 krát 2. 2 je opakovaně násobena čtyřikrát, což znamená 2 krát 2 jsou 4, krát 2 je 8, krát 2 je 16. Ale co když se na tento zápis podíváme jinak. Víme, že 16 dostaneme umocněním 2. My ale chceme vědět, jakou mocninu potřebujeme. Takže máme číslo 2. Umocním ho na nějakou mocninu. Jakou hodnotu musí mít tato mocnina, abych dostal 16? To jsme právě zjistili. 'x' musí být 4. A tohle je princip logaritmů. Najít mocninu, kterou musíme použít, abychom dostali žádané číslo. Způsob, kterým bychom tento zápis vyjádřili logaritmicky, je, že napíšeme log (logaritmus)… Udělám to trochu barevnější… Logaritmus o základu 2... Tu dvojku zamodřím... Logaritmus o základu 2 z čísla 16 se rovná čemu? Nebo, v tomto případě, protože tady máme to 'x', se rovná 'x'. Oba tyto zápisy vyjadřují to samé. Tento říká: „Když umocním 2 na ‚x‘, dostanu 16.“ A tento: „Na kolikátou musím umocnit 2, abych dostal 16." Výsledek chci dosadit za ‚x‘. A vy řeknete: „Musíte 2 umocnit na 4.“ A já dosadím za ‚x‘ opět 4. Teď se pojďme podívat na další příklady logaritmických výrazů. Řekněme, že máte... Logaritmus o základu 3 z čísla 81. K jakému výsledku vede? Na připomenutí, výsledek bude číslo, na které musíme umocnit 3, abychom dostali 81. Pokud chcete, můžete tento zápis dát rovná se ‚x‘ a přepsat tuto rovnici jako 3 na ‚x‘ se rovná 81… Proč jsme použili logaritmy? Později uvidíte, že mají velmi zajímavé vlastnosti. A nemusíte k výpočtu nutně použít neznámou. Pokud chcete říct, že ‚x‘ je mocnina, na kterou musím umocnit 3, abych dostal 81, použili jste neznámou ‚x‘. Zatímco s použitím logaritmického výrazu ji ani použít nemusíme. Není nutné říct, že výsledek je ‚x‘. Stačí říct, že výsledkem je mocnina, na kterou musíme umocnit 3, abychom dostali 81. Mocnina, na kterou musíme umocnit 3, abychom dostali 81. A na kolikátou musíte umocnit 3, abyste dostali 81? Uděláme menší pokus. 3 na 1 je 3, 3 na 2 je 9, 3 na 3 je 27, 3 na 4, to je 27 krát 3 je 81. 3 na 4 je 81. Takže ‚x‘ se rovná 4. Můžeme tedy říct: logaritmus o základu 3 z čísla 81 se rovná... Udělám to jinou barvou... ...se rovná 4. Uděláme ještě několik příkladů. A zkuste si je spočítat sami, ať si to natrénujete. Zkusíme využít větší číslo, Řekněme, že chceme znát logaritmus o základu 6 z čísla 216. Jaká bude jeho hodnota? Chceme vlastně vědět: „Na kolikátou musíme umocnit 6, abychom dostali 216?“ 6 na 1 je 6, 6 na 2 je 36, 36 krát 6 je 216. Napíšeme rovná se 216. Zjistili jsme 6 na 3 je 216. Takže na otázku: „Na kolikátou musím umocnit 6, tento logaritmický základ, abych dostal číslo 216?“ Odpověď bude na 3. 6 na 3 je 216. Pojďme zkusit další příklad. Logaritmus o základu 2 z čísla 64. Jakému číslu se bude rovnat? Opět se ptáme na mocninu, na kterou musíme umocnit 2, která je základem tohoto logaritmu, abychom dostali 64. 2 na 1 je 2, 2 na 2 je 4, 8, 16, 32, 64. Došli jsme k závěru, že 2 na 6 je 64. Takže pomocí tohoto výrazu můžeme určit: „Na kolikátou musím umocnit 2, abych dostal 64?" Musím ji umocnit na 6. Teď udělám jednodušší příklad… Nebo možná těžší, záleží na úhlu pohledu. Kolik je logaritmus o základu 100 z čísla 1? Chvíli se nad tím zamyslete. 100 je napsána v indexu, takže to opravdu je logaritmus o základu 100 z čísla 1. 1 dám do závorek. Jaký bude výsledek? Toto bychom vypočítali položením si otázky: „Na kolikátou musíme umocnit 100, abychom dostali 1?“ Napíšeme to jako rovnici. Když dáme tento zápis rovno „x“, znamená to: 100 na kolikátou je 1? Cokoli na 0 je 1! V tomto případě je tedy „x“ rovno 0. Logaritmus o základu 100 z čísla 1 je tedy 0. Každý logaritmus o libovolném základu z čísla 1 je 0, protože cokoliv umocněno na 0, kromě 0 samotné, je rovno 1. Závěrem jakékoliv číslo různé od 0 umocněné na 0 je 1.
video