Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (8/18) · 4:49

Využití vlastností logaritmů - mocnina Další vlastnost logaritmu se týká mocniny v argumentu. Zde si ukážeme, jak ji lze využít na konkrétním případu.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Máme zjednodušit logaritmus o základu 5 z 'x na třetí'. Opět to jen přepíšeme jiným způsobem. Můžete polemizovat, zda to bude jednodušší nebo ne. Vlastnost logaritmů, kterou bychom měli v tomto případě použít, je vlastnost, že vezmu-li logaritmus o základu 'x' z ('y' na 'z'), že je to to stejné jako 'z' krát logaritmus o základu 'x' z 'y'. To je vlastnost logaritmu. Mám-li logaritmus o daném základu z něčeho na nějakou mocninu, tak můžu vzít tu mocninu dopředu a vynásobit logaritmem o stejném základu z hodnoty 'y'. Aplikujeme zde tedy tuto vlastnost. Za chvíli, až dodělám tento příklad, ukážu, proč to vlastně dává smysl. Vychází to přímo z vlastností mocnin. Aplikujeme-li to tady, máme logaritmus o základu 5 z 'x na třetí'. Toto je mocnina. To je to samé jako… Takže to bude stejné jako… Použiji jinou barvu. Ta 3 je to stejné… Můžeme ji dát dopředu… Je to to stejné jako 3 krát logaritmus o základu 5 z 'x'. Hotovo, je to jen jiný způsob zápisu, pomocí této vlastnosti. Můžete namítat… Možná můžete říct, že je to zjednodušení, protože jsme dostali mocninu z logaritmu a teď násobíme logaritmus tím číslem. Teď když to máme za sebou, zamysleme se, proč to vůbec dává smysl. Řekněme, že víme, že 'a' na 'b' je rovno 'c'. Víme-li toto… To je exponenciální rovnice, chceme-li zapsat totéž jako logaritmickou rovnici, řekli bychom, že logaritmus o základu 'a' z 'c' je rovno 'b'. Na jakou mocninu musím umocnit 'a', abych dostal 'c'? Umocním to na 'b'. 'a' na 'b' je rovno 'c'. Dobře. Vezměme obě strany této rovnice a umocněme je na 'd'. Nenapíšu to přímo zde, raději to přepíši sem. Napsal jsem původní rovnici, 'a' na 'b' je rovno 'c', což je jenom přepsáno toto tvrzení. Teď umocněme obě strany na 'd'. Měl bych být konzistentí, použiji všude velká písmena, toto by tedy mělo být B… Vlastně používám všude malá písmena, takže toto je malé 'c'. Toto umocním na 'd' a umocním i toto na 'd'. Zřejmě, jsou-li tyto dvě věci rovny a umocním obě strany na stejnou mocninu, rovnost bude stále platit. Zajímavé na tom je, že můžeme využít vlastností mocnin. Mám-li 'a' na 'b' a to pak umocním na 'd', díky vlastnostem mocnin je to rovno 'a' na ('b' krát 'd'). Udělám to jinou barvou, tuto zelenou jsem už použil. Díky vlastnostem mocnin je toto zde rovno 'a' na ('b' krát 'd'). Máme 'a' na ('b' krát 'd'), což je rovno 'c' na 'd'. Tato exponenciální rovnice, pokud ji napíšeme jako logaritmickou, řekli bychom, že logaritmus o základu 'a' z ('c' na 'd') je 'bd'. Na jakou mocninu musím umocnit 'a', abych dostal 'c' na 'd'? Musím to umocnit na 'bd'. Víme, co je 'b'? Víme, že 'b' je tady tato věc zde. Nahradíme-li toto za 'b' a toto můžeme napsat jako 'db', dostaneme logaritmus o základu 'a' z ('c' na 'd') je rovno 'bd', což je totéž jako 'db'. Toto je tedy rovno 'd' krát 'b'. 'b' je logaritmus o základu 'a' z 'c'. Tady to máte, právě jsme tu vlasnost odvodili. logaritmus o základu 'a' z ('c' na 'd') je 'd' krát logaritmus o základu 'a' z 'c', což jsme aplikovali tady.
video