Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (3/18) · 5:59

Vztah mezi exponenciálou a logaritmem Spočítáme si pár příkladů, abychom pochopili přesný vztah mezi hodnotami exponenciály a logaritmu.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Máme zde dvě tabulky. První tabulka nám říká, jaká je hodnota ‚b‘ na ‚x‘ pro danou hodnotu ‚x‘. Například, pokud se podíváme na x‘ se rovná 1,585, tak ‚b‘ na 1,585 je 3. Dozvídáme se, že ‚b‘ na 1,585 se rovná 3. Podobně, tohle slovo mi nikdy nešlo, podobně vidíme, že ‚b‘ na 2,322 je 5, ‚b‘ na 2,807 je 7 a ‚b‘ na 2,169 je 9. Tahle vedlejší tabulka určuje podle hodnoty ‚y‘, jaká je hodnota log o základu ‚b‘ z ‚y‘. Vidíme, že log o základu ‚b‘ z ‚a‘ je 0, log o základu ‚b‘ ze 2 je 1, log o základu ‚b‘ z 2c je 1,585, log o základu ‚b‘ z 10d bude, jak tu přímo stojí psáno, log o základu ‚b‘ z 10d se rovná 2,322. To nám říká poslední sloupeček. Nyní vám doporučuji pozastavit si video a na základě těchto informací, bez nutnosti použít kalkulačku, vlastně spíš se zákazem kalkulačky, tu vám zakazuji. Zkuste vyřešit, kolik budou ‚a‘, ‚b‘, ‚c‘, ‚d‘. Pouze na základě úvah, nikoliv pomocí kalkulačky. Použijte svůj úsudek. Přijdete na to, co budou ‚a‘, ‚b‘, ‚c‘ a ‚d‘? Předpokládám že už jste to zkusili, nyní se na to podíváme. Tady máme hromadu čísel, ze kterých máme přijít na ‚b‘. Tady máme všechno co víme o ‚b‘, to že umocněno na 1,585 se rovná 3. Nevím, jak použít tahle ostatní čísla, třeba nám pomůže tahle tabulka. Takže nejprve to napíšu různými barvami, první sloupec nám říká, že log o základě ‚b‘ z ‚a‘, se rovná nula, teď se tedy ‚y‘ rovná ‚a‘. To je totožné tvrzení, jako že ‚b‘ umocněno na ‚a‘ se rovná, tedy pardon, nikoliv ‚b‘ umocněno na ‚a‘, to se nedá použít jako ekvivalentní tvrzení, ‚b‘ na 0, umocněno na nultou, se rovná ‚a‘. Tohle se nás ptá, jakým exponentem umocňujeme ‚b‘, aby vyšlo ‚a‘? Umocňujeme na nultou, takže ‚b‘ na nultou se má rovnat 0. A čemu se teda rovná cokoliv na nultou, tedy krom nuly samotné? Za předpokladu, že ‚b‘ není nula, tedy ‚b‘ je nenulové, což můžeme předpokládat nejspíše bez problémů, protože ‚b‘ na všechny tyhle mocniny nám generuje nenulové hodnoty a proto pokud ‚b‘ není 0, cokoliv na 0 bude 1, proto víme, že ‚a‘ bude 1. Takže teď už máme jednu věc vyřešenou, ‚a‘ se rovná 1. Teď se podíváme na další část informací zde. Co nám to říká? To nám říká, že log o základu ‚b‘ ze 2 se rovná 1. To se dá také vyjádřit, jako že hodnota, kterou musím umocnit ‚b‘, aby vyšlo 2, je 1, nebo pokud to chceme napsat pomocí exponentů, tak ‚b‘ na prvou se rovná 2. Něco umocňuji na prvou a vychází 2. Co bude to ‚něco‘? Znamená to, že ‚b‘ musí být 2, protože 2 na prvou je 2. Proto ‚b‘ se rovná 2, ‚b‘ na prvou se rovná 2. Nebo se dá říci, že ‚b‘ na prvou se rovná 2 na prvou. To je taktéž 2. Prostě ‚b‘ se musí rovnat 2. Takže to jsme taky zvládli vyřešit. Tohle písmeno bude 2. A vlastně to dává smysl, 2 na 1,585, to bude správně, to vychází jako 3. Schválně co můžeme udělat dál. Podíváme se, zda přijdeme na ‚c‘. Koukneme na tenhle sloupeček. Uvidíme, co se zde dozvíme. Tento sloupeček je log o základu ‚b‘, a naše nové ‚y‘ je 2c. Log o základu ‚b‘ z 2c se rovná 1,585, nebo také můžeme říci, pokud to převedeme na exponenciální tvar, že ‚b‘ na 1,585 se rovná 2c. No a kolik je ‚b‘ na 1,585? Tady nám píší, že ‚b‘ na 1,585 je 3. Tudíž tato část se rovná 3, máme tu že 2c se rovná 3, nebo můžeme obě strany vydělit dvěma, potom ‚c‘ se rovná 1,5. To funguje hezky. A zbývá nám poslední sloupeček, který zakroužkuji fialově, můžeme psát jako log o základu ‚b‘ z 10d se rovná 2,322. To nám říká, že číslo kterým musíme umocnit ‚b‘ aby vzniklo 10d je 2,322, případně v exponenciálním tvaru, ‚b‘ na 2,322 se rovná 10d, čemu se tedy nyní rovná ‚b‘ na 2,322? Tady stojí, že ‚b‘ na 2,322 je 5. Také tohle se rovná 5, proto můžeme psát, že 10d se rovná 5, případně obojí vydělit deseti, pak ‚d‘ se rovná 0,5. A jsme hotoví, přišli jsme na to, čemu se rovnají ‚a‘, ‚b‘, ‚c‘ i ‚d‘, aniž bychom použili kalkulačku.
video