Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (7/18) · 5:04

Využití vlastností logaritmů - sčítání Pomocí nám již známého vzorce na sčítání logaritmů o stejném základu si zjednodušíme zadaný logaritmus.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Máme zjednodušit logaritmus o základu 3 z '27x'. Vlastně to už zjednodušené je, ale předpokládám, že chtějí, abychom využili vlastností logaritmu a pohráli si s tím tak, aby to bylo trochu komplikovanější. Zkusme to nejlepší, co umíme. Vlastnost logaritmu, která mě okamžitě napadne… Protože toto říká: „Na jakou mocninu mám umocnit 3, abych dostal 27x?“ 27x je to samé jako 27 krát 'x', Vlastnost, kterou, zdá se, máme použít, je logaritmus o základu 'b' z ('a' krát 'c') se rovná logaritmus o základu 'b' z 'a' plus logaritmus o základu 'b' z 'c'. To vychází přímo z vlastností mocnin. Máte-li dvě mocniny o stejném základu, můžete sčítat mocnitele. Ozřejmím vám to. Zdá-li se vám to matoucí, důležité pro tento příklad je, že víte, jak to použít, ale nejlepší je, chápete-li to intuitivně. Řekněme, že logaritmus o základu 'b' z ('a' krát 'c') je roven 'x'. Toto se tedy rovná 'x'. Řekněme, že toto se rovná 'y'. Logaritmus o základu 'b' z 'a' je roven 'y' a řekněme, že toto se rovná 'z'. Logaritmus o základu 'b' z 'c' je roven 'z'. Víme, že tato věc zde nebo tato věc zde, nám říká, že 'b' umocněno na 'x' je rovno ('a' krát 'c'). Toto nám zase říká, že 'b' na 'y' je rovno 'a' a toto nám říká, že 'b' na 'z' je rovno 'c'. Udělám to stejnou zelenou. Napsal jsem to samé. Píšu to jako exponenciální rovnici namísto logaritmické rovnice. 'b' umocněno na 'z' je rovno 'c'… Toto je to samé tvrzení. Je to stejné tvrzení, zapsané jiným způsobem. Toto je stejné tvrzení zapsané jinak. Pokud tedy víme, že 'a' se rovná tomuto, že se to rovná 'b' na 'y' a 'c' se rovná 'b' umocněno na 'z', pak můžeme psát: 'b' na 'x' je rovno 'b' na 'y'… To je totiž 'a', to už víme. …krát 'b' na 'z'. Z vlastností mocnin pak víme, že vezmeme-li ('b' na 'y') krát ('b' na 'z'), je to to samé jako 'b' umocněno na ('y' plus 'z'). To vyplývá přímo z vlastností mocnin. Je-li tedy 'b' umocněno na ('z' plus 'y') stejné jako 'b' umocněno na 'x', to nám říká, že se 'x' musí rovnat ('y' plus 'z'). 'x' se musí rovnat ('y' plus 'z'). Pokud je to matoucí, moc se netrapte. Důležité je, že víte, jak to použít, pak o tom můžete přemýšlet více a můžete zkusit dosadit i čísla. Stačí si uvědomit, že logaritmy jsou v podstatě mocniny. Když jsem to slyšel poprvé, ptal jsem se: „Co to znamená?“ Když si ale vyjádříte logaritmus, dostanete mocnitele, kterým musíte umocnit 'b', abyste dostali ('a' krát 'c'). Použijme tu vlastnost zde. Logaritmus o základu 3 z (27 krát 'x')… Napíšu to takto. …je roven logaritmus o základu 3 z 27 plus logaritmus o základu 3 z 'x'. Toto můžeme vyčíslit, říká nám to, na jakou mocninu musím umocnit 3, abych dostal 27? Můžete to vidět takto: 3 na 'otazník' se rovná 27. No, 3 na třetí se rovná 27. 3 krát 3 je 9, krát 3 je 27. Toto se tedy rovná 3. Máme-li to zjednodušit… Neříkal bych tomu zjednodušování, spíše rozšíření, či využití té vlastnosti. Teď máme dva členy, začínali jsme s jedním. Vlastně, pokud bychom začali s tímto, řekl bych, že toto je jednodušší verze. Když to přepíšeme, první člen bude 3. První člen bude 3 a zbyde nám logaritmus o základu 3 z 'x'. Toto je jiný způsob zápisu původního tvrzení. Logaritmus o základu 3 z '27x'. Znovu, není jasné, co je jednodušší. Je to jen jiný způsob zápisu.
video