Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (6/18) · 10:05

Vlastnosti logaritmů 2 Ukažme si další užitečné vzorce pro výpočet logaritmů. Rovnou si dokážeme jejich platnost a zkusíme s nimi vypočítat pár příkladů.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Vítejte zpátky! Ukážu vám poslední dvě vlastnosti logaritmu. Takže tahle… A tahle mi vždycky přišla nejvíce očividná. Ale nebuďte smutní, pokud vám to nebude připadat očividné. Bude to chtít trochu pozorování. A zkuste se všemi vlastnostmi logaritmu nějak experimentovat, protože to je jediný způsob, jak se to naučit. A cílem v matematice není jen udělat příští zkoušku nebo dostat jedničku. Cílem je matematice skutečně porozumět, abyste ji mohli v životě používat a nemuseli se vše učit znovu a znovu. Takže další vlastností logaritmu je, že když máme ,A' krát logaritmus o základu B z C, když máme A krát tohle všechno, tak se to rovná logaritmu o základu B z (C na A-tou). Fascinující. Tak se podívejme, jestli to funguje. Mějme třeba 3 krát logaritmus o základu 2 z 8. Tahle vlastnost nám říká, že se to bude rovnat logaritmu o základu 2 z (8 na třetí). A to je ta samá věc. Je to to samé jako… Přijdeme na to. Podívejme, co to je. 3 krát logaritmus… Kolik je logaritmus o základu 2 z 8? Důvod, proč jsem před chvílí váhal, je ten, že vždy když chci na něco přijít, mám chuť k tomu použít pravidla logaritmu a mocnění. Takže se tomu snažím vyhnout. Takže zpátky. Kolik to je? 2 na kolikátou je 8? 2 na třetí je 8, žejo? Takže je to 3. A tady máme 3, takže 3 krát 3. Takže tohle by se mělo rovnat 9. Jestli se tohle rovná 9, tak víme, že ta vlastnost platí aspoň pro tento příklad. Nevíme, jestli to platí všude, a proto byste se možná chtěli v jiném videu podívat na důkaz té vlastnosti. Ale to je pokročilejší téma. Nejdřív je důležité pochopit, jak se to používá. Takže kolik je 2 na devátou? No bude to velké číslo. Vlastně vím, kolik to je. Je to 256… Protože z minulého videa víme, že 2 na osmou je 256. Takže 2 na devátou musí být 512. Takže jestli je 8 na třetí taky rovno 512, tak je to správně, že? Protože logaritmus o základu 2 z 512 bude 9. Kolik je 8 na třetí? Je to 64… Jasně. 8 na druhou je 64, takže 8 na třetí… 4 krát 8. Takže je to 2 a 3. 6 krát 8… Asi to bude 512. Správně. A jsou jiné způsoby, jak to udělat. Protože se dá říct, že 8 na třetí je stejné jako 2 na devátou. Jak to vím? No, 8 na třetí je jako (2 na třetí), to na třetí, že? Jen přepíšu 8. A z pravidel pro mocniny víme, že (2 na třetí), to na třetí je 2 na devátou. A je to ta vlastnost mocnin, kde násobíme… Když umocníme něco umocněného, tak stačí jen vynásobit ty mocnitele. To je vlastnost mocnin, která vede k této vlastnosti logaritmů. Ale v tomto videu to nebudu moc rozebírat. Máme celé video, kde se to vše tak nějak dokazuje. Další vlastnost logaritmu, kterou vám ukážu… Potom vše zopakuju a možná udělám pár příkladů. Toto je asi ta nejužitečnější vlastnost, když jste závislí na kalkulačce. A ukážu vám proč. Řekněme, že mám logaritmus o základu B z A. To je rovno (logaritmus o základu C z A) děleno (logaritmus o základu C z B). A proč je to užitečné, když jste závislí na kalkulačce? Řekněme, že jste ve třídě a píšete test. Učitel řekne, že můžete používat kalkulačku, a chci zjistit, kolik je logaritmus o základu 17 z 357. A začnete hledat tlačítko pro logaritmus o základu 17, ale nenajdete ho. Protože na kalkulačce takové tlačítko není. Budete mít tlačítko pro logaritmus o základu 10 nebo pro přirozený logaritmus. Takže abyste věděli, tlačítko "log" na vaší kalkulačce je pravděpodobně se základem 10. A tlačítko "ln" na vaší kalkulačce bude mít základ e. Pokud neznáte e, tak si z toho nic nedělejte. Je to asi 2,71 nebo tak nějak. Je to číslo. Je to úžasné číslo, ale více o něm budeme mluvit jinde. Takže na kalkulačce máte jen dva základy. Takže když chcete spočítat logaritmus o jiném základu, použijete tuto vlastnost. Takže když to dostanete v testu, můžete sebevědomě říci, že to je to samé jako… Přepnu to na žlutou barvu… Logaritmus o základu… Můžeme vybrat e nebo 10. Je to to samé jako (logaritmus o základu 10 z 357) děleno (logaritmus o základu 10 z 17). Takže do kalkulačky prostě dáte 357 a zmáčknete tlačítko "log". A vyjde vám bla bla bla… Pak to můžete vymazat nebo použít závorky, jestli na kalkulačce víte jak. Pak tam napíšete 17 a zmáčknete tlačítko "log" a vyjde vám bla bla bla… A pak je vydělíte a máte odpověď. Takže tohle je velmi užitečná vlastnost pro závisláky na kalkulačce. A znovu říkám, že nebudu zabíhat do podrobností. Ta vlastnost je podle mě nejužitečnější, ale není úplně… Očividně to vyplývá z vlastností mocnin. Ale je těžké popsat to jednoduše, podívejte se na důkaz v jiném videu, jestli nevěříte, že tohle platí. Ale každopádně, tohle je ta vlastnost, kterou budete nejvíce používat. Stále to používám v práci. Jen abyste věděli, že logaritmy jsou užitečné. Pojďme udělat pár příkladů. Přepíšeme nějaké věci do jednodušší formy. Kdybych chtěl napsat logaritmus o základu 2 z… Něco vymyslím. …z odmocniny ze 32 děleno třetí… Ne, zůstanu u druhé odmocniny. Děleno druhou odmocninou z 8. Jak to můžu přepsat jednodušeji? Zamysleme se nad tím. To je to samé jako… Mám to napsat dolů, nebo doprava? Napíšu to dolů. To je stejné jako logaritmus o základu 2 z ((32 děleno odmocninou z 8) na jednu polovinu), že? A víme ze třetí vlastnosti logaritmu, co jsme se učili, že to je to samé jako 1/2 krát logaritmus z (32 děleno odmocninou z 8), že? Jen jsem vzal ten exponent a udělal z něj koeficient před tím vším. A to jsme se naučili na začátku videa. A teď tu máme podíl, že? Logaritmus z (32 děleno odmocninou z 8). No můžeme použít naši další… Tu 1/2 necháme před tím… To bude rovno, závorka,… Zapomněl jsem ten základ. Logaritmus o základu 2 z 32 minus, protože je to podíl. Minus logaritmus o základu 2 z druhé odmocniny z 8. Je to tak? Podívejme. Tady máme zase odmocninu, takže je to rovno 1/2 krát (logaritmus o základu 2 z 32 minus tohle, což je stejné jako 1/2 krát logaritmus o základu 2 z 8). Tuhle vlastnost jsme se učili na začátku videa. A jestli chceme, můžeme to roznásobit tou původní 1/2. To se rovná 1/2 krát logaritmus o základu 2 z 32 minus 1/4, protože roznásobujeme tu 1/2, minus 1/4 krát logaritmus o základu 2 z 8. Tohle je 5/2 minus, tohle je 3. …minus 3/4. Neboli 10/4 minus 3/4 je rovno 7/4. Možná jsem tu udělal nějaké chyby v číslech, ale chápete princip. Uvidíme se brzy!
video