Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (10/18) · 7:33

Změna základu logaritmu Vypočítejme si logaritmus se základem 5. Takový základ ale každá kalkulačka vypočítat neumí. Zkusme to proto s pomocí vzorce, který je na to určený převést na základ 10 nebo e.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Pomocí vzorce pro změnu základu vypočítejte logaritmus o základu 5 ze 100, a to zaokrouhleno na tisíciny. Vzorec pro změnu základu je užitečný vzorec, hlavně když používáte kalkulačku. Protože většina kalkulaček neumožňuje libovolně měnit základ logaritmu. Mají tam tlačítka pro logaritmus o základu e, což je přirozený logaritmus. A tlačítko pro základ 10. Takže většinou potřebujete měnit základ. A k tomu je tento vzorec. A když nám zbyde čas, řeknu vám, proč to dává smysl nebo jak se to odvozuje. Takže vzorec pro změnu základu nám říká… …a udělám to tu barevně… Logaritmus o základu a z b je to samé jako (logaritmus o základu x, kde x je libovolný základ, z b) děleno (logaritmus o základu x z a). Je to užitečné, protože díky tomu můžeme měnit základ. Tady je náš základ ,a' a můžeme to změnit na ,x'. Takže pokud má naše kalkulačka tlačítko se základem ,x', tak to na ten základ můžeme změnit, většinou je to e nebo 10. Základ 10 je jednoduchý. A obecně, když někoho uvidíte psát logaritmus takhle… Když napíšou jen log x, tak se tím myslí o základu 10. Když někdo napíše přirozený logaritmus z x, tak se tím myslí o základu e. A e je samozřejmě číslo 2,71… Takhle pokračuje do nekonečna. A teď to pojďme použít v tomto příkladě. Máme logaritmus…použiju barvy…o základu 5 ze 100. Takže tahle vlastnost, ten vzorec pro změnu základu nám říká, že se to rovná logaritmu… Dám x rovno 10. (logaritmus o základu 10 ze 100) děleno (logaritmus o základu 10 z 5). A na tu horní část ani nepotřebujeme kalkulačku. Logaritmus o základu 10 ze 100… 10 umocněno na kolikátou je 100? Na druhou. Takže čitatel je roven 2. Takže se to zjednoduší na 2 děleno logaritmem o základu 10 z 5. Teď můžeme použít kalkulačku, protože tu máme tlačítko pro logaritmus o základu 10. Vyndáme si kalkulačku. A dostaneme, my chceme… Tohle vymažu. 2 děleno, když někdo napíše jen "log", myslí tím základ 10. Když máte "ln", myslí se tím základ e. Takže "log" bez dalších informací je o základu 10. Takže logaritmus o základu 10 z 5 je, a oni chtějí zaokrouhlení na tisíciny, takže 2,861. Takže je to rovno asi 2,861. A můžeme to ověřit, protože když 5 umocním na tohle, měl bych teoreticky dostat 100. A tak nějak to dává smysl, protože 5 na druhou je 25 a 5 na třetí 125. A tohle je mezi 2 a 3, ale ke 3 je to blíž, a 100 je blíž ke 125 než k 25. Ale pojďme to ověřit, takže 5 umocněno na tamto. A napíšu tam to zaokrouhlené číslo. 5 na 2,861, dávám všechny ty cifry. Co dostanu? Dostanu 99,94. Kdybych tam napsal všechny cifry, měl bych být dost blízko ke 100. Takže to je dobrý pocit, že 5 umocněno na tohle opravdu vychází asi 100. A teď když máme hotovo, pojďme se zamyslet, proč ta vlastnost, ten vzorec opravdu funguje. Když napíšu logaritmus o základu ,a', snažím se zůstat u těch barev, logaritmus o základu a z b, řekněme, že to je rovno nějakému číslu, třeba c. Takže to znamená, že ,a' na c-tou je rovno b. Tohle je způsob pomocí mocnin, jak napsat tento fakt. Tohle je způsob pomocí logaritmu, jak to napsat. …je rovno b. Teď můžeme vzít logaritmus o jakémkoli základu z obou stran tohoto. Cokoliv… Když řekneme 10 na kolikátou je toto. 10 na to samé bude rovno tomuto, protože ty dvě věci se rovnají. Takže vezměme logaritmus o stejném základu z obou těch stran. Logaritmus o stejném základu. A vlastně vezmu základ x, abych dokázal obecnost. Vezmu logaritmus o základu x z obou těchto stran. Takže tohle je logaritmus o základu x z (a na c-tou). Snažím se zůstat u těch barev. To je rovno logaritmu o základu x z b. Vezmu to oranžovou. A z vlastností logaritmu víme: logaritmus z (a na c-tou) je roven c krát logaritmus z a, ať máme jakýkoli základ. A tohle je samozřejmě rovno logaritmu o základu x z b. ,b' dám sem. A když chceme najít ,c', tak obě strany vydělíme logaritmem o základu x z a. Takže dostaneme, že c je rovno, a zůstanu u té barvy… Takže je to (logaritmus o základu x z b) děleno (logaritmus o základu x z a) A tohle bylo c, c byl logaritmus o základu a z b. …je to rovno logaritmu o základu a z b. Napíšu to… Napíšu to v původních barvách, aby bylo jasné, co dělám. Asi tušíte, kam tím mířím. Ale chci dodržet ty barvy. Takže c je rovno logaritmu o základu x z b děleno… …posunu to trochu dolů… děleno logaritmem o základu x, dělím tím obě strany, z ,a'. A odsud víme… To můžu zkopírovat a vložit. Tohle je taky rovno c. Takhle jsme to definovali. Takže to zkopíruju a vložím. Tohle je taky rovno c. A jsme hotovi. Dokázali jsme vzorec pro změnu základu. Logaritmus o základu a z b je roven (logaritmus o základu x z b) děleno (logaritmus o základu x z a). A v tomto příkladu bylo ,a' 5 a ,b' 100. A základ jsme měnili na 10, x je 10.
video