Hlavní obsah
Procvičování pravidla změny základu logaritmu
Přepíšeme logaritmické výrazy jako 1/(logₐ4) nebo logₐ(16)*log₂(a) pomocí pravidla o změně základu logaritmu.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Podíváme se na dva příklady, kdy využijeme
vzorec pro změnu základu logaritmu. Doporučuji video zastavit a zkusit
si příklady vyřešit samostatně. U obou dvou příkladů se nám bude hodit
již známý vzorec, který říká, že logaritmus o základu a čísla c můžeme přepsat jako podíl
dvou logaritmů. V čitateli bude argument logaritmu c, ve jmenovateli a a základ těchto
logaritmů si můžeme libovolně zvolit. Musí být akorát větší než 0. Pojďme upravit první výraz. Začneme podmínkami. B musí být větší než nula. Nyní logaritmus přepíšeme podle vzorce. Použijeme dekadický logaritmus, to
je velice častá volba. Máme ho totiž na kalkulačce. Místo
logaritmu tak napíšeme zlomek. V čitateli má logaritmus o základu 10 čísla
4 a ve jmenovateli logaritmus o základu 10 čísla b nebo proměnné b. Samozřejmě u logaritmu nemusíme psát základ
10, ale pro přehlednost to už tak necháme. Pokud jste zběhlí v úpravě složených zlomků,
pak asi víte, že v tuto chvíli stačí prohodit čitatel a
jmenovatel zlomku ve jmenovateli a celé zjednodušení zlomku
je tím vyřešeno. Uděláme to ale podrobněji. Složený zlomek
přepíšeme jako jedna děleno zlomkem ve jmenovateli, to je log 4, už nebudeme opisovat základ 10, ten tam byl zbytečný, uděleno log b. Dělit zlomkem je jako
násobit jeho převrácenou hodnotou. Výraz tak přepíšeme jako jedna krát
zlomek, který má prohozený čitatel a jmenovatel. V čitateli tak máme log
b, ve jmenovateli log 4. Zlomek teď násobíme číslem jedna, což je
úplně zbytečné, číslo jedna tak můžeme škrtnout a zbývá nám zlomek, který má v čitateli
a ve jmenovateli logaritmy o stejném základu. Můžeme tak použít vzorec pro změnu
základu logaritmu, akorát to použijeme v opačném směru. Podíl logaritmu přepíšeme
jako 1 logaritmus. Základ vezmeme ze jmenovatele, to je 4. A argument z čitatele, to je b. Dostáváme tak logaritmus o
základu 4 čísla b. To je ale velmi zajímavý výsledek, protože když
se podíváme na logaritmus na začátku, který měl základ b a argument 4 a na
konci má logaritmus základ 4 a argument b, tak došlo jenom k jejich prohození. To znamená, že když převrátíme hodnotu
logaritmu, dělíme logaritmem, tak je to vlastně jenom převrácení nebo
prohození argumentu a základu. Hned si to ukážeme na konkrétním příkladu. Teď se ale ještě musíme vrátit k této
úpravě s jednou podmínkou navíc. V zadání máme logaritmus o základu b. Ten samozřejmě nesmí být záporný,
ale nesmí být ani jedna. Logaritmus o základu jedna neuvažujeme. On by totiž nedával smysl. Navíc kdyby b bylo jedna, dostali bychom
nulu hned v dalším kroku zde, ve jmenovateli. Takže podmínka, b je různé od jedné,
nám zajistí, že tento jmenovatel není nula. Stejný problém by pak nastal zde. Každopádně výraz je zjednodušen,
více už to nejde. Podmínky jsou nedílnou součástí řešení a stejnou
podmínku bychom měli doplnit i u samotného vzorce. Tentokrát je a i b základem logaritmu
a ty také musí být různé od jedné. Pojďme se podívat, jak
prohazování argumentu a základu funguje v konkrétním případě. Logaritmus o základu 2
čísla 8 je roven třem, protože dvě na třetí je osm. Podobně logaritmus o základu 8
čísla 2 je roven jedné třetině, protože 8 je třetí odmocnina ze dvou, což
odpovídá umocňování na jednu třetinu. Vidíme, že logaritmy mají převrácenou
hodnotu, 3 a jedna třetina. Můžeme tak podobně jako v příkladu napsat, že
logaritmus o základu 8 čísla 2 se rovná jedna lomeno logaritmus, který má
prohozený argument a základ, tedy logaritmus o základu dva z osmi. Tento vztah se nám může hodit při
úpravách nějakých dalších výrazů s logaritmy. Pojďme na druhý příklad. Začneme podmínkami. C je jednak základ logaritmu a také argument,
musí tedy být větší než nula a nesmí být rovno jedné. Logaritmy stejně jako v minulém
případě převedeme na dekadické. Tentokrát už nebudeme psát základ deset. To se rozumí samo sebou. První logaritmus přepíšeme
jako log 16 lomeno log c. Druhý logaritmus, také podle vzorce, přepíšeme
jako log c lomeno log 2. Podmínky, které jsme si stanovili, nám zaručují,
že log c není nula, můžeme jím tedy zkrátit a zbude nám tak jeden zlomek, a sice
log 16 v čitateli lomeno log 2 ve jmenovateli. Opět použijeme vzorec pro změnu
základu v opačném směru a zlomek přepíšeme na jeden logaritmus o
základu 2 čísla 16. No a ten umíme vypočítat, protože
dvě na čtvrtou je 16. Výsledek je tak 4. Za těchto podmínek.