Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (11/18) · 6:43

Změna základu logaritmu 2 Nejen pro kalkulačku, ale i pro naše výpočty se často hodí si pomocí vzorce změnit základ logaritmu tak, aby byl u všech logaritmů v celém výrazu nebo rovnici stejný.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Takže máme tu dva různé výrazy s logaritmy, jeden ve žluté a druhý v růžové barvě. A jako vždy, zastavte video a zkuste každý z těchto výrazů zapsat jednodušším způsobem. A pro případ, že jste ještě nezačali, vám dám nápovědu. Nápovědou je, že pokud vymyslíte, jak šikovně změnit základ logaritmu v těchto výrazech, možná vám to pomůže tohle zjednodušit. A dám vám ještě další nápovědu. Když mluvím o změně základu, myslím když mám základ… Udělám to barevně. Logaritmus o základu ,a' z ,b'. Logaritmus o základu ,a' z ,b', to bude rovno (logaritmus z b) děleno (logaritmus z a). …děleno logaritmem z ,a'. A možná si říkáte: "Počkat, počkat. Napsali jsme tady logaritmus, ale není tu napsaný základ." No, ono to bude pravda bez ohledu na to, jaký si vyberete základ, pokud u obou bude ten základ stejný. Mohl by to být základ 9, základ 9 v obou případech. No a většinou si lidi vybírají základ 10. 10 je nejtypičtější, protože většina kalkulaček ho tam má anebo jsou pro to tabulky. Takže tady se říká, že mocnitel, na který mocním ,a', abych dostal ,b', je roven mocniteli, na který mocním 10, abych dostal ,b', děleno mocnitelem, na který mocním 10, abych dostal ,a'. Tohle je velmi užitečná věc, když se setkáte s logaritmy. A dokážeme to v jiném videu. Ale teď se podíváme, jestli to dokážeme použít. Takže teď se vrátíme ke žlutému výrazu, tohle je to samé jako 1 děleno tímhle. Takže to tak radši napíšu. Tohle je 1 děleno logaritmem o základu b z 4. A teď použijme to, co jsme si ukázali, abychom to přepsali. Takže tohle bude rovno… Tohle bude rovno 1 děleno… Místo abych napsal logaritmus o základu b z 4, můžu napsat logaritmus z 4. A když sem ten základ nenapíšu, budeme předpokládat, že je to 10. Logaritmus ze 4 děleno logaritmem z ,b'. A když dělím nějakým zlomkem, je to to samé jako násobení převrácenou hodnotou. Takže tohle bude rovno 1 krát převrácená hodnota tohoto. … krát logaritmus z b děleno logaritmem ze 4, což samozřejmě bude logaritmus z b děleno logaritmem ze 4, jen jsem to násobil 1. A teď půjdeme dál a použijeme ten vzorec, který jsem ukázal na začátku. To je to samé jako logaritmus o základu 4 z b. …o základu 4 z b. Takže máme celkem hezký výsledek, který nám tu vyšel. Nedokazovali jsme to pro žádné hodnoty, máme tu hezky obecné ,b'. Když vezmu převrácenou hodnotu výrazu s logaritmy, tak jsem v podstatě vyměnil základy. Tohle je logaritmus o základu ,b', na co musím umocnit ,b', abych dostal 4? A tady, na co musím umocnit 4, abych dostal ,b'? A teď to vypadá trochu jako kouzlo, dokud tam nevložíte nějaká opravdová čísla. Pak to začne dávat smysl, hlavně u zlomkových exponentů. Například víme, že 4 na třetí je 64. Takže když mám logaritmus o základu 4 z 64, tak to bude rovno 3. A kdybych měl logaritmus o základu 64 ze 4, tak to budu muset mocnit na jednu třetinu. A všimněte si, že ta čísla jsou převrácená. Takže to nakonec není takové kouzlo, ale je hezké vidět, jak to dobře vychází. A teď se pokusme udělat něco s tímhle. Mám logaritmus o základu c z 16 krát logaritmus o základu 2 z c, dobře. Takže tohle, znovu říkám, že by bylo dobré to přepsat jako zlomek s logaritmy o základu 10. Takže tenhle první, ten první můžu napsat jako logaritmus o základu 10 z 16, pamatujte, že pokud nenapíšu základ, myslím tím 10. …děleno logaritmem o základu 10 z c. A to budeme násobit, tohle teď bude… Můžeme to napsat jako (logaritmus o základu 10 z c) děleno… …děleno logaritmem o základu 10 ze 2. Logaritmus o základu 10 ze 2. Znovu říkám, že tu můžu mít ty malé 10, pokud je vám to příjemnější. Můžu to udělat takhle, ale nemusím. A tohle je zajímavé, protože když násobím logaritmem z ,c' a dělím logaritmem z ,c', oba o základu 10, tak se to pokrátí a zůstane mi logaritmus o základu 16… Pardon, logaritmus o základu 10 z 16 děleno logaritmem o základu 10 ze 2. A víme jak dál, tohle bude… Tohle bude logaritmus… …logaritmus o základu 2 z 16. Logaritmus o základu 2 z 16. A ještě nejsme hotovi, protože na kolikátou musím umocnit 2, abych dostal 16? Musíme 2 umocnit… Musíme to umocnit na čtvrtou. Udělali jsme to modře. Umocnit 2 na čtvrtou, abychom měli 16. Takže tohle je docela skvělá věc, protože na začátku jsme měli proměnnou ,c' a vypadalo to, že to bude dost abstraktní, ale nakonec můžete tuhle šíleně vypadající věc upravit a vyjde vám 4. Takže kdybych měl při nějaké hře zajímavě popsat číslo 4, tak by tohle byl docela dobrý způsob. Kdyby tam třeba bylo "Udělejte tolik kroků." To by bylo docela cool.
video