Procvičování pravidla změny základu logaritmu

Podíváme se na dva příklady, kdy využijeme vzorec pro změnu základu logaritmu. Doporučuji video zastavit a zkusit si příklady vyřešit samostatně. U obou dvou příkladů se nám bude hodit již známý vzorec, který říká, že logaritmus o základu a čísla c můžeme přepsat jako podíl dvou logaritmů. V čitateli bude argument logaritmu c, ve jmenovateli a a základ těchto logaritmů si můžeme libovolně zvolit. Musí být akorát větší než 0. Pojďme upravit první výraz. Začneme podmínkami. B musí být větší než nula. Nyní logaritmus přepíšeme podle vzorce. Použijeme dekadický logaritmus, to je velice častá volba. Máme ho totiž na kalkulačce. Místo logaritmu tak napíšeme zlomek. V čitateli má logaritmus o základu 10 čísla 4 a ve jmenovateli logaritmus o základu 10 čísla b nebo proměnné b. Samozřejmě u logaritmu nemusíme psát základ 10, ale pro přehlednost to už tak necháme. Pokud jste zběhlí v úpravě složených zlomků, pak asi víte, že v tuto chvíli stačí prohodit čitatel a jmenovatel zlomku ve jmenovateli a celé zjednodušení zlomku je tím vyřešeno. Uděláme to ale podrobněji. Složený zlomek přepíšeme jako jedna děleno zlomkem ve jmenovateli, to je log 4, už nebudeme opisovat základ 10, ten tam byl zbytečný, uděleno log b. Dělit zlomkem je jako násobit jeho převrácenou hodnotou. Výraz tak přepíšeme jako jedna krát zlomek, který má prohozený čitatel a jmenovatel. V čitateli tak máme log b, ve jmenovateli log 4. Zlomek teď násobíme číslem jedna, což je úplně zbytečné, číslo jedna tak můžeme škrtnout a zbývá nám zlomek, který má v čitateli a ve jmenovateli logaritmy o stejném základu. Můžeme tak použít vzorec pro změnu základu logaritmu, akorát to použijeme v opačném směru. Podíl logaritmu přepíšeme jako 1 logaritmus. Základ vezmeme ze jmenovatele, to je 4. A argument z čitatele, to je b. Dostáváme tak logaritmus o základu 4 čísla b. To je ale velmi zajímavý výsledek, protože když se podíváme na logaritmus na začátku, který měl základ b a argument 4 a na konci má logaritmus základ 4 a argument b, tak došlo jenom k jejich prohození. To znamená, že když převrátíme hodnotu logaritmu, dělíme logaritmem, tak je to vlastně jenom převrácení nebo prohození argumentu a základu. Hned si to ukážeme na konkrétním příkladu. Teď se ale ještě musíme vrátit k této úpravě s jednou podmínkou navíc. V zadání máme logaritmus o základu b. Ten samozřejmě nesmí být záporný, ale nesmí být ani jedna. Logaritmus o základu jedna neuvažujeme. On by totiž nedával smysl. Navíc kdyby b bylo jedna, dostali bychom nulu hned v dalším kroku zde, ve jmenovateli. Takže podmínka, b je různé od jedné, nám zajistí, že tento jmenovatel není nula. Stejný problém by pak nastal zde. Každopádně výraz je zjednodušen, více už to nejde. Podmínky jsou nedílnou součástí řešení a stejnou podmínku bychom měli doplnit i u samotného vzorce. Tentokrát je a i b základem logaritmu a ty také musí být různé od jedné. Pojďme se podívat, jak prohazování argumentu a základu funguje v konkrétním případě. Logaritmus o základu 2 čísla 8 je roven třem, protože dvě na třetí je osm. Podobně logaritmus o základu 8 čísla 2 je roven jedné třetině, protože 8 je třetí odmocnina ze dvou, což odpovídá umocňování na jednu třetinu. Vidíme, že logaritmy mají převrácenou hodnotu, 3 a jedna třetina. Můžeme tak podobně jako v příkladu napsat, že logaritmus o základu 8 čísla 2 se rovná jedna lomeno logaritmus, který má prohozený argument a základ, tedy logaritmus o základu dva z osmi. Tento vztah se nám může hodit při úpravách nějakých dalších výrazů s logaritmy. Pojďme na druhý příklad. Začneme podmínkami. C je jednak základ logaritmu a také argument, musí tedy být větší než nula a nesmí být rovno jedné. Logaritmy stejně jako v minulém případě převedeme na dekadické. Tentokrát už nebudeme psát základ deset. To se rozumí samo sebou. První logaritmus přepíšeme jako log 16 lomeno log c. Druhý logaritmus, také podle vzorce, přepíšeme jako log c lomeno log 2. Podmínky, které jsme si stanovili, nám zaručují, že log c není nula, můžeme jím tedy zkrátit a zbude nám tak jeden zlomek, a sice log 16 v čitateli lomeno log 2 ve jmenovateli. Opět použijeme vzorec pro změnu základu v opačném směru a zlomek přepíšeme na jeden logaritmus o základu 2 čísla 16. No a ten umíme vypočítat, protože dvě na čtvrtou je 16. Výsledek je tak 4. Za těchto podmínek.