Racionální mocniny I
Přihlásit se
Racionální mocniny I (1/16) · 5:00

Zlomky v mocniteli Jak si máme poradit s výrazy, které mají v mocniteli číslo ve tvaru zlomku? Ukážeme si, že to vlastně není nic nového, jedná se jen o převlečenou odmocninu.

Navazuje na Výrazy s mocninami.
Už toho víme docela dost o exponentech. Například víme, že pokud vezmeme číslo 4 a umocníme ho na třetí, je to stejné, jako bychom vzali tři 4 a vzájemně je vynásobili. Nebo to můžeme brát jako 1, která je vynásobena 4, a výsledek znovu čtyřmi, celkově 3krát. V každém případě bude výsledkem 4 krát 4, což je 16, krát 4 je 64. Něco málo víme i o záporných exponentech. Například pokud bych dal 4 na (-3), víme, že toto záporné číslo říká, abychom vzali převrácenou hodnotu, to znamená: 1/4 na třetí. A my už víme, že 4 na třetí je 64, výsledkem tedy bude 1/64. Teď se zamyslíme nad zlomky v exponentu. Takže se zamyslíme nad tím, kolik je 4 na 1/2. Doporučuji teď zastavit video a zkusit alespoň odhadnout, kolik by to mohlo být. Matematická úmluva nebo definice, která se používá, říká, že 4 na 1/2 je to samé jako druhá odmocnina ze 4. Později si řekneme, proč tomu tak je, a důvod, proč je to takto definováno, je spousta užitečných vlastností, když začnete upravovat samotné exponenty. Ale co je druhá odmocnina ze 4, o co zde jde? Jde o toto: jaké číslo musím vynásobit samo sebou, nebo pokud mám dvakrát toto číslo a vynásobím je každé sebou, tak dostanu 4? Takže co krát samo sebou se rovná 4? To je samozřejmě 2. A jenom abychom si uvědomili, proč to funguje, připomeňme si, že můžeme napsat, že 4 se rovná 2 na druhou. Takže tu vidíme něco zajímavého. 4 na 1/2 je rovno 2, 2 na druhou je rovno 4. Pojďme se podívat na další příklady, jenom abychom se ujistili, že tomu rozumíte. Doporučuji zastavit si video, jak často potřebujete, a zkuste si to vyřešit sami. Takže podle toho, co jsem vám řekl, kolik podle vás bude 9 na 1/2? To je vlastně druhá odmocnina z 9. A absolutní hodnota odmocniny z 9 bude rovná 3. A také bychom mohli říct, že 3 na druhou, tady to napíšu, že 9 se rovná 3 na druhou. Obě tato tvrzení jsou pravdivá. Ještě jeden příklad. Čemu se bude rovnat 25 na 1/2? To bude samozřejmě 5. 5 krát 5 je 25. Nebo také můžeme říct, že 25 je rovno 5 na druhou. Teď se zamyslíme nad tím, co se stane, když něco dáme na 1/3. Představte si, že máme 8 na 1/3. Definice zde říká, že pokud něco umocníme na 1/3, je to to samé, jako kdybychom vzali třetí odmocninu tohoto čísla. A třetí odmocnina nám říká, jaké číslo bych měl 3krát vzájemně vynásobit, abych dostal 8. Takže něco krát něco krát něco je 8. My už víme, že 8 je rovno 2 na třetí. Takže třetí odmocnina 8, nebo 8 na 1/3, bude rovno 2. To nám říká: dej mi číslo, které vynásobené samo sebou a ještě jednou samo sebou mi dá 8. A toto číslo je 2, protože 2 na třetí je 8. Ukážeme si ještě pár příkladů. Čemu je rovno 64 na 1/3? My už víme, že 4 krát 4 krát 4 je 64. Takže výsledek bude 4. A tady jsme už napsali, že 64 je to samé jako 4 na třetí. Myslím, že už je tu vidět ta pravidelnost, že se pořád opakuje to samé. A to můžeme rozšířit i na libovolné racionální exponenty. Takže co se stane, kdybych například -- nechte mě vymyslet dobré číslo -- kdybychom měli 32. Mám číslo 32 a umocním ho na 1/5. Řekněte mi číslo, které pokud vynásobím samo sebou 5krát za sebou, tak dostanu 32. A 32 je to samé jako 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2. Takže 2 je to číslo, které když 5krát vynásobím samo sebou, tak dostanu 32. Takže výsledek bude 2, nebo také můžeme říct úplně tu samou věc jiným způsobem: že 32 se rovná 2 na 5.
video