Racionální mocniny I
Přihlásit se
Racionální mocniny I (6/16) · 4:02

Rovnice s mocninami a odmocninami Jak je možné vyřešit příklad, ve kterém se mocnina s neznámou v mocniteli rovná odmocnině? Uvidíte, že stačí znovu použít postupy, jako v předchozích příkladech.

Navazuje na Výrazy s mocninami.
Takže tady máme (3 na a), nebo 3 na a-tou. Číst to můžeme libovolně. (3 na a) se rovná 5. odmocnině ze (3 na 2). A my potřebujeme zjistit, čemu se rovná ‚a‘. Budeme hledat výraz ‚a‘. A nyní vám doporučuji video pozastavit a zkusit si to sami. Když tady máte 5. odmocninu, může vás to svádět k jejímu odstranění umocněním výrazu na 5. A samozřejmě nemůžeme na 5 umocnit jen 1 stranu rovnice. Pro zachování rovnosti musíme danou změnu provést na obou stranách rovnice. Zkusme tedy umocnit obě strany rovnice na 5. Takže obě strany na 5. Tato levá strana… Jenom si trochu ujasníme naše exponenty, (3 na a) na 5. A můžeme si ještě ujasnit, co to vlastně znamená, tedy (3 na a) krát (3 na a) krát (3 na a) krát (3 na a) krát (3 na a). Čemu se to tedy bude rovnat? To bude 3 na (a plus a plus a plus a plus a plus), což je totéž jako (3 na 5a). Exponent má takovou vlastnost, že když umocníme základ na nějaký exponent a to celé umocníme na další exponent, je to totéž, jako umocnění základu na exponent, který je součinem těchto 2 exponentů. Takže levou stranu můžeme zapsat jako (3 na 5a) se rovná… Když máme 5. odmocninu z něčeho a to umocníme na 5, zbyde nám jen vnitřek odmocniny. To je (3 na 2). Teď to celé vypadá o moc lépe. (3 na 5a) se musí rovnat 3 na 2. Nebo jinak: na obou stranách máme stejný základ. Takže tento exponent se musí rovnat tomuto exponentu. Můžeme tedy napsat, že (5a) se musí rovnat 2. A teď stačí jen vydělit obě strany 5 a dostaneme tak (a se rovná 2/5). Tedy 2 lomeno 5. A to je docela zajímavý výsledek. Pěkné je na tomto výsledku to, že je na něm krásně vidět, jak definujeme zlomky v exponentu. Pojďme si toto zasadit zpět do našeho původního výrazu. Už jsme našli hodnotu ‚a‘. A dostali jsme 3 na 2/5… A schválně to trochu vybarvím, protože to je docela zajímavé. 3 na 2/5 se rovná 5. odmocnině… Pozor, 5. odmocnině. Takže tento jmenovatel je to, čím odmocňujeme. Tedy 5. odmocnina ze (3 na 2). Takže když vezmeme tento základ 3 a umocníme jej na 2, ale z toho vezmeme 5. odmocninu, je to totéž, jako umocnit základ 3 na 2/5. Všimněte si: vezmeme tuto 3, umocníme ji na 2 a potom najdeme 5. odmocninu. Nebo když použijeme tuto vlastnost, kterou jsme popisovali tady, můžeme to zapsat jinak. Toto je stejné jako (3 na 2) a to celé na 1/5. Uplatnění této vlastnosti jsme viděli zde. Stačí jen vynásobit tyto 2 exponenty. Získáme tak 3 na 2/5. A to je totéž jako (3 na 2) a z toho 5. odmocnina. 3 na 2 a potom už jen hledáme 5. odmocninu.
video