Exponenciální funkce
Přihlásit se
Exponenciální funkce (10/10) · 5:39

Eulerovo číslo pomocí limity exponenciální funkce Co je e? V tomto pokročilém důkazu navážeme na předchozí příklad s výpočtem splátek a ukážeme si jeho limitu v nekonečnu.

Navazuje na Racionální mocniny II.
V minulém videu, kde jsme viděli jednoduchý příklad složeného úročení, jsme dostali výraz (1 plus (1 děleno n)) na n-tou. A jak jsme to získali? Viděli jsme příklad, kde lichvář účtuje úrok 100%, a proto je tady 1, a pak když úročí pouze jednou ročně, takže 100% za rok, potom n je 1. Dostanete (1 plus 100% děleno 1) na prvou, budete muset vrátit dvojnásobek částky, kterou jste si půjčili. Když n je 2, (1 plus 1/2) na druhou vám dá 2,25. Když úročíte polovičním úrokem, tedy 100% děleno 2, ale úročíte to dvakrát. Pak jsme to opakovali stále dokola a viděli jsme, že došlo k zajímavým věcem. Chci to právě tady zopakovat za použití kalkulačky. Chci vidět, co se stane, když vezmeme větší a větší n. V minulém videu jsme došli až k n rovno 365 a zdálo se, že se dostaneme až ke kouzelnému číslu, ale teď pojďme ještě dále. Naťukejme tam nějaká opravdu velká čísla. 1 plus 1 děleno… Dáme tam milion. 1, 2, 3,… (1 plus 1 děleno 1 000 000) na miliontou. Mám správný počet 0? Jo, vypadá to dobře. Než dám enter, což je zajímavé, se zamysleme nad tím, co se tu děje. Co máme tady, je, že n se zvětšuje, tohle se dostává blíže a blíže k 1, ale nebude to přesně 1. Toto je 1 a jedna miliontina. Velmi blízko 1, ale ne přesně 1. A dáme to celé na miliontou a normálně když dáme něco na miliontou, tak to bude neomezené, bude to obrovské číslo. Ale tušíme, že 1 na miliontou bude prostě 1. Když se blížíme k 1, tak to přece jen nebude nějaké neomezené číslo. Když to spočítáme, vidíme, že to je ten případ. Je to 2,71828 a pokračuje to dál. Teď pojďme ještě výše. Vezměme 1 plus 1 děleno… A vlastně teď můžu použít vědecký zápis. Řekněme (1 plus 1 děleno (1 krát 10 na sedmou)) na (10 na sedmou). Co tu máme? Teď to šlo na 2,718281692. Pojďme ještě výše. Tady zadáme ten poslední údaj. Místo na sedmou zadejme na osmou. Teď máme (1 plus 1 děleno 100 000 000) na 100 000 000) Ani nevím, jestli to ta kalkulačka zvládne. A máme 2,71828181487. A vidíte, že se rychle přibližujeme… Nebo možná ne rychle, když tohle musíme mocnit na tak vysoké číslo, …přibližujeme se k číslu e. Číslo e je v kalkulačce. Vidíte, že už jsme dostali 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 míst vpravo od desetinné čárky tím, že jsme to dali na miliontou. K tomu číslu se přibližujeme. Blížíme se a jeden ze způsobů, jak o tom hovořit je, že to je limita pro n jdoucí k nekonečnu. Jak se n zvětšuje, není to neomezené. Nejde to k nekonečnu. Blíží se to k tomuto číslu a to číslo budeme nazývat, budeme to magické a mystické číslo nazývat ,e'. Budeme mu říkat ,e' a uvidíme na kalkulačce, že to číslo… Ty jeho číslice jsou téměř tak známé jako číslice u pí. Dostáváme 2,7182818 a jde to dál a dál. Nikdy se neopakuje, je to nekonečná řada číslic, které se nikdy neopakují. Stejně jako pí. pí, jak si pamatujete, je poměr obvodu kruhu k jeho průměru. e je další z těchto šílených čísel, které se objevuje ve vesmíru. A v dalších videích Khanovy školy půjdeme do hloubky toho, proč je tak magické a mystické. Už to je dost zajímavé. Že mohu vzít nekonečné… Když přičtu 1 a 1 děleno číslem, umocním to na to číslo a to číslo pořád zvětšujeme, blíží se k tomuto číslu, k e. Ale co je ještě šílenější, uvidíme, že toto číslo, které můžete vidět, vychází z tohoto složeného úročení. To číslo, pí, imaginární jednotka, která je definovaná jako ta imaginární jednotka na druhou, je -1. Ta všechna čísla spolu souvisí tímto magickým a mystickým způsobem a uvidíme to v příštích videích. Ale jen k tomu e, to, co se tu děje, si můžete představit, že je podobné našemu předchozímu příkladu, kdy byl půjčen 1 dolar a účtováno 100% ročně, když naše n bylo 1, což jen znamená, že účtujeme 1 období. Když n je 2, účtujeme 2 období a pak úročíte přes 2 období. Když n jsou 3, tak úročíte přes 3 období. Když n jde k nekonečnu, můžete se na to dívat, jako že úročíte nepřetržitě. Každou miliontinu sekundy. Každou chvilku úročíte úplně maličkým úrokem. Děláte to a v podstatě se blížíte k nekonečnu a dostanete se k tomuto číslu.
video