Exponenciální funkce
Přihlásit se
Exponenciální funkce (9/10) · 11:38

Složené úročení pomocí exponenciální funkce Ukážeme si, jak se budou počítat úroky, když si půjčíme peníze na různě dlouhou dobu. Jak se změní částka, kterou na konci budeme muset zaplatit?

Navazuje na Racionální mocniny II.
Řekněme, že zoufale toužíte vlastnit dolary. Tak přijdete za mnou, místním lichvářem, a řeknete, že si chcete půjčit jeden dolar na jeden rok. Odpovím, že jsem dobře naladěn, takže vám půjčím dolar, který chcete, na jeden rok. Půjčím vám ho za nízký úrok, 100 % za rok. Kolik byste mi museli zaplatit po roce? Musíte zaplatit původní částku, kterou jsem vám půjčil, plus 100 % této částky. Tedy plus jeden další dolar. Což samozřejmě bude celkem rovno 2 dolary. Asi si řeknete, že to je až moc, platit dvojnásobek toho, co si půjčuji. Je tu i možnost, že bych dostal peníze jenom na 6 měsíců. Jakou dohodu byste mi nabídl, pane Lichváři? Já bych řekl, že pokud hodláte zaplatit dříve, během 6 měsíců, budu po vás chtít poloviční úrok, kvůli poloviční délce času. Půjčíte si dolar a po šesti měsících po vás budu chtít 50 % úrok. 50 % úrok za 6 měsíců. Tohle byl jeden rok. Kolik musíte zaplatit? No, musíte zaplatit původní zapůjčenou jistinu. Jeden dolar plus 50 % dolaru. Plus 0,5, dohromady to je 1,5. To je 1,50 dolaru. Napíšu to takhle. 1,50. Teď si říkáte, že tohle je asi výhodnější. Co se ale stane, když ještě nemám potřebné peníze? Pokud ještě stále potřebuji celý rok. Na to tu máme systém. Řeknu prostě ok, ještě pro mě nemáte peníze. Popřemýšlíme nad tím. Půjčím vám tu částku, kterou potřebujete na dalších 6 měsíců. Tady si to vypůjčíme. Půjčíme si na dalších 6 měsíců. Opět 50 % na dalších šest měsíců. Potom už mi dlužíte jistinu 1,50 dolaru plus 50 % jistiny, tedy 75 centů. S těmi 75 centy to dělá celkem 2,25 dolaru. Jiný způsob, jak nad tím uvažovat, je začít na 1 dolaru v prvním období a vynásobit ho 1,5 krát. Pokud má něco vzrůst o 50 %, tak to stačí vynásobit 1,5 krát. Pokud to má vzrůst o 50 % znova, znova vynásobíme 1,5 krát. Dá se uvažovat, že padesátiprocentní úrok je totéž, jako násobení 1,5. Násobení 1,5 krát. Pokud začínáme s 1 a násobíme dvakrát 1,5 krát, vyjde nám to samé. 2,25 je jednička vynásobená dvakrát číslem 1,5. Násobení dvakrát 1,5 je totéž co 1,5 na druhou. Totéž můžete vidět zde. Tohle je to samé. 100 % je totéž, jako násobení 2. Jako násobení číslem 1 plus 1. To je násobení dvojkou, což se dá udělat tady. Je to vlastně 1 krát 1. 1 krát 1 na prvou... Pardon, 1 krát 2 na prvou, protože to provádíme pouze pro jedno období. Říkáte si, kde je ta 2? Pokud si někdo řekne o úrok 100 %, znamená to, že za to období musíte zaplatit dvojnásobek. Musíte zaplatit jistinu plus 100 % částky. Zaplatíte dvojnásobek toho, co jste si původně půjčili. Pokud někdo chce 50 % za dané období, budete muset zaplatit to, co jste si půjčili, což je jedna část, plus navíc 50 % té částky. Takže 1,5 násobek půjčené částky. Násobíte 1,5 za každé období. Pokud chcete vidět, jak toto souvisí s úrokem, dá se na to nahlížet jako... Tohle číslo zde se rovná 1 krát, úrok je jedna plus 100 % děleno jedním obdobím na prvou. Já vím, že to vypadá jako šílený způsob vyjádření, toho co už tu máme. Psát to jako 1 plus 1, ale uvidíte že se to dá napsat takto i pro více následujících období. Tento výraz se dá také přepsat. Dá se napsat jako 1 krát 1 plus 100 %. Tady bereme našich 100 % za rok, ale tentokrát dělíme dvěma obdobími, dvakrát 6 měsíců. Každé z nich po 50 %. 1 plus 100 % lomeno 2 je totéž, jako 1,5 a máme to připravené pro dvě období. Udělám druhé období jinou barvou. Období označím oranžovou. Možná už pozorujete tvořící se vzorec. Řekněme, že už máte všechny peníze ke splacení, ale vůbec se vám to nelíbí. 2,25 dolaru. To je o dost více, ne původní 2 dolary, tak si řeknete, co kdybychom to rozložili do 12 měsíců? A já na to, že klidně, na to tu taky máme program. Ať už po dvanácti měsících, nebo po každém zvlášť... Tedy nabízím, že budu chtít úrok ve výši 100 %, ale vydělený 12, to je 8 a (1 lomeno 3) %. Zaplatit jistinu a navíc 8 a (1 lomeno 3) % je totéž, jako násobit opakovaně částku číslem 1,083. Po prvním měsíci zaplatíte 1,083. Po dvou měsících, tohle je špatné měřítko, to vypadá jako více než dva měsíce, je to mimo měřítko. Po dvou měsících budete muset násobit znova. Opakovaně krát 1,083, čímž dosáhneme 1,083 na druhou. Kdybychom pokračovali až ke všem 12 měsícům, udělám si tu trošku místa. Kdybychom rozepsali všech 12 měsíců, Tady je naznačen prostor, kde by bylo dalších deset měsíců. Jaký je celková částka s úrokem, kterou byste museli zaplatit po roce, pokud by se vám stále nedařilo shromáždit dostatek peněz? Když byste si museli znova půjčovat. A úrok se pořád kumuluje. Budete muset zaplatit 1,083 umocněno na... Tohle je po jednom měsíci. Dá se říci, že to je na prvou. Tohle je po druhém měsíci, takže tady to bude už na dvanáctou. Počítali jsme s dvanácti obdobími, 8 a (1 lomeno 3) % během 12 období. Pokud byste to chtěli napsat ve stejném tvaru jako zde, bude to stejném jako původní jistina. Naše původní jistina krát (1 plus 100 % děleno 12). Teď jsme rozdělili 100 % do 12 období a to budeme opakovat dvanáctkrát. Takže to celé umocníme na dvanáctou. Čemu se to bude rovnat? Tenhle ten výraz. Na to můžeme použít kalkulačku. Vytáhnu na to svoji TI-85. Čemu se to bude rovnat? Dá se to provést několika způsoby. Tohle je pořád 1,083. Použijeme kalkulačku a existuje více cest. Předvedu vám to takhle. Vyjde vám stejný výsledek. Nemusím tohle přepisovat. Udělal jsem to jen pro to, abyste snadněji viděli strukturu tohohle výrazu. 1 plus... 100 % je totéž co 1. 1 děleno 12 na dvanáctou. 2,613, zaokrouhlím to. Takže přibližně 2,613. Řeknete si, že to je zajímavá hra, během které jste málem zapomněli na své finanční problémy a jste zaujatí tím, co se stane, když budeme pokračovat. Tady jsme skládali prostě 100 %, Tady máme 50 % každých 6 měsíců, Tady máme dvanáctinu ze 100 %, 8 a (1 lomeno 3) % každý z dvanácti měsíců, dokud nedojdeme k tomuto číslu. Co kdybychom to dělali každý den? Každý den. Kdybych vám půjčil dolar a řekl k tomu, že po vás každý den budu chtít (1 lomeno 365) ze 100 %. No, 100 % děleno 365 a budu to skládat 365 krát. Asi vás zajímá výsledek. Co nám to vyjde tentokrát? Co nám vyjde po roce? Máme tu původní jistinu. Přeroluji trochu doprava, abych měl víc místa. Máte původní jistinu krát (1 plus 100 % děleno, ale ne dvanácti). Nyní je to 100 % rozděleno na 365 období. 365 úseků. Poskládáme to za sebe. Pokaždé musíme násobit krát (1 plus 100 % lomeno 365) každý den, kdy půjčka není splacena. Umocnit na 365. Řeknete si, že umocnit něco na 365, to asi bude vycházet něco obrovského. Pak si zas ale uvědomíte, že možná ne tolik, protože 100 % děleno 365 bude maličké číslo. Tohle číslo bude velmi podobné jedničce. Samozřejmě můžeme 1 umocňovat, jakým číslem chceme, a nedostaneme nic zvláštního. Uvidíme jak to dopadne. Schválně kam to povede. Tohle je totéž jako 1 plus... 100 % je totéž jako 1, děleno 365, to celé na 365. Vychází 2,71456. Napíšu to tady. To se přibližně rovná, to je přibližně... Je to velmi přesná aproximace, ale 2,7... Ale moje kalkulačka má jen omezenou přesnost, 2,7145675 a to pokračuje dál a dál. To je vskutku zajímavé. Vypadá to, že i když tu použijeme větší a větší čísla, nenafoukne se nám to do obrovitánského čísla. Vypadá to, že se blíží nějakému magickému tajemnému číslu. A o to tu právě jde. Když byste brali větší a větší čísla, Kdybyste brali 100 % a dělili většími a většími čísly, a také to těmito čísly umocňovali, budete se přibližovat k nejspíše nejmagičtějšímu a nejzáhadnějšímu číslu ze všech. K číslu e. Můžete ho nalézt i na své kalkulačce právě zde. Je tady e na x. Můžu to zkusit, e na.. Umocním ho na prvou, takže uvidíte, jaká je jeho hodnota v podání kalkulačky. Vidíte, že tím jak jsme počítali s (1 plus 1 lomeno 365) na 365, vyšlo nám něco velmi velmi podobného jako e. Doporučuji vám vyzkoušet si to s většími čísly, čímž se dostanete na kloub této záhadě. Skoro by vám ani nevadilo zaplatit lichváři e dolarů, protože je to tak krásné číslo.
video