Exponenciální funkce
Exponenciální funkce (1/10) · 7:41

Exponenciální rostoucí funkce Jaká je exponenciální funkce? Pojďme si ukázat její předpis, vypočítat pomocnou tabulku a nakreslit graf, abychom se s ní seznámili. Navíc si ukážeme i příklad z praxe.

Navazuje na Racionální mocniny II.
V tomto videu vás chci seznámit s exponenciálními funkcemi a ukázat vám, jak rychle mohou tyto funkce růst. Napíšu sem příklad exponenciální funkce. Řekněme, že máme y se rovná 3ˣ. Uvědomte si, že to není x³, ale 3ˣ. Naší proměnnou x je tedy exponent. Udělejme si zde tabulku, abychom viděli, jak rychle funkce poroste, a možná i načrtneme graf. Zadejme si nějaké hodnoty x. Začněme s x se rovná -4. Potom půjdeme k -3, -2, 0, 1, 2, 3 a 4. Vypočítejme si hodnoty y pro každou hodnotu x. Tady y bude 3⁻⁴, to je rovno 1/3⁴. 3³ je 27 a 27 krát 3 je 81. Takže toto je rovno 1/81. Když x se rovná -3, y je 3... Uděláme to jinou barvou. Tuhle nejde moc přečíst. y je 3⁻³, to je 1/3³, což je rovno 1/27. Přejdeme od super malých čísel k už ne tak super malým číslům. Potom 3⁻² je 1/9, že? 1/3². A potom tu máme 3⁰, což je rovno 1. Už nám to pomalu roste, ale uvidíte, jak to teprve exploduje. Teď máme 3¹. To je rovno 3. Tady máme 3², že? y je rovno 3². To je 9. 3³ je 27, 3⁴ je 81. Pokud bychom chtěli pátou mocninu, dostaneme 243. Nakreslíme si graf, ať si uvědomíme, jak rychle to poroste. Nakreslím si tady osy. Toto je osa x a toto je osa y. Budu to kreslit po 5, protože sem chci dostat celý tvar té funkce. Takže nakreslím co nejrovnější čáru. Řekněme, že toto je 5, 10, 15. Takhle se ale nedostanu k 81. Chci se dostat k 81. Ale to je dostačující. Nakreslím to trochu jinak, než jsem to nakreslil původně. Nakreslím to tady dole, protože všechny tyto hodnoty, jak jste si možná všimli, jsou kladné hodnoty, protože mám kladný základ. Nakreslím to takto. To by šlo. A řekněme, že mám 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. Toto tady je 80. Toto 10. Toto 30. To bude pro představu stačit. Řekněme, že toto je -5. Tady je plus 5. Trochu to ještě protáhnu. Řekněme, že toto je -1, -2, -3, -4. Potom máme 1, 2, 3 a 4. Když je x rovno 0, jsme na 1, je to tak? Když x je rovno 0, y je rovno 1, což je někde tady. Když x je rovno 1, y je rovno 3, což je někde tady. Když x je rovno 2, y je rovno 9, což je tady. Když x je rovno 3, y je rovno 27, což je tady. Když x je rovno 4, y je rovno 81. Vidíte, jak prudce tato funkce vzrůstá. Když x bude 5, dostaneme se až k 243, což se nám sem ani nevejde. Když půjdeme k -1, bude funkce menší a menší. Při x rovno -1 jsme na 1/3. To ani pořádně neuvidíte. Jsme blíže a blíže nule. Když se toto blíží k větším a větším záporným číslům, asi bych měl říkat menším záporným číslům, například 3⁻¹⁰⁰⁰, 3⁻¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰, tak dostaneme čísla blížící se nule, ale nikdy se k ní úplně nedostaneme. Když se blížíme k minus nekonečnu, x je rovno minus nekonečno, blížíme se k nule, pak se od ní pomalu dostáváme pryč, ale potom bum! Když se dostaneme do kladných čísel, funkce exploduje. Exploduje a bude růst rychleji a rychleji. Chci vám jen ukázat, že exponenciální funkce jsou velmi, velmi dramatické. Vždycky můžete sestrojit rychleji rostoucí funkci. Například y se rovná xˣ, což je ještě rychleji rostoucí funkce, ale co se týče těch, se kterými se běžně setkáme, tahle patří k nejrychleji rostoucím. Ukažme si nějaký příklad, ve kterém využijeme exponenciální funkce. Řekněme, že někdo rozeslal řetězovou zprávu v prvním týdnu. V prvním týdnu někdo rozeslal řetězovou zprávu deseti lidem. A v té zprávě je uvedeno, že každý musí poslat zprávu dalším deseti lidem. Pokud tak neuděláte, budete mít smůlu, vypadají vám vlasy, vezmete si žábu, atd. A tak všichni tito lidé souhlasí a každý pošle zprávu dalším deseti lidem. V druhém týdnu pošlou zprávu dalším deseti lidem. Každý z těch původních 10 lidí posílá dalších 10 zpráv. Nyní má zprávu 100 lidí, že? Každý z těch deseti poslal deset, tedy 100 zpráv celkem. 10 bylo posláno, tady bylo posláno 100. Co se stane v třetím týdnu? Každý z těch 100 lidí, kteří tuto zprávu dostali, pošle dalších deset, za předpokladu, že všichni mají rádi řetězové zprávy. Takže zprávu dostane 1000 lidí. Obecně počet lidí, kteří obdrží zprávu... V týdnu n, kde n je týden, o kterém mluvíme, kolik lidí obdrží zprávu? V týdnu n máme 10ⁿ lidí, kteří obdrží zprávu. Takže když se vás zeptám, kolik lidí dostane dopis v šestém týdnu? Kolik lidí skutečně ten dopis dostane? Kolik je 10⁶? 10⁶ je 1 s šesti nulami, což znamená, že milion lidí dostane zprávu za pouhých šest týdnů, když každý pošle 10 dopisů. Ve skutečnosti by spousta lidí zprávu hodila do koše, takže tak velkého čísla bychom nedosáhli. Ale pokud by to tak bylo a každý by poslal zprávu deseti lidem a ti dalším deseti a tak dále po dobu šesti týdnů, měli bychom milion lidí. A v devátém týdnu bychom měli miliardu lidí. A upřímně, týden poté už by nám došli lidé. Uvidíme se u dalšího videa.
video