Racionální mocniny II
Přihlásit se
Racionální mocniny II (7/8) · 7:32

Příklad na zjednodušení výrazu s mocninami 7 Výraz, ve kterém máme součin mocnin, které jsou dále umocněné či odmocněné. Naším úkolem je tento výraz zjednodušit.

Navazuje na Racionální mocniny I.
Máme za úkol zjednodušit výraz: ((r na 2/3) krát (s na 3)) na 2 krát odmocnina z (20 krát r na 4 krát s na 5). To vypadá strašně, ale když to vezmeme krok po kroku, nemělo by to být tak špatné. Nejdříve se podíváme na tento první výraz, kde umocňujeme na 2 tento součin. Víme, že můžeme vzít každý člen v závorce, umocnit ho na 2 a pak vynásobit. Takže to bude (r na 2/3) na 2 krát (s na 3) na 2. Teď se podívejme na tuto odmocninu. Máme tu 2. odmocninu, což je to samé, jako umocnění na (1/2). Tohle se tedy rovná… Takže krát… Tuhle část udělám jinou barvou. Tohle tady je stejné jako 20… A raději, než abych napsal jen 20, vyjádřím to jako součin úplného čtverce a neúplného čtverce. 20 je tedy to stejné jako 4 krát 5. Takhle rozložíme 20. Krát (r na 4) krát (s na 5). Teď rozložím také (s na 5) na součin úplného a neúplného čtverce, (r na 4) je zřejmě úplný čtverec. Jeho odmocnina je (r na 2). Rozložme podobně (s na 5), (s na 5) můžeme přepsat jako (s na 4) krát s, (s na 4) krát (s na 1), to je (s na 5). Tohle všechno musí být umocněno na 1/2. Pojďme to ještě víc zjednodušit. Pokud umocníme něco na 2/3 a potom na 2, můžeme prostě vynásobit exponenty. Takže tento člen můžeme zjednodušeně zapsat jako (r na 4/3). Připomínám, umocňujeme-li něco na 4/3, tak to můžete brát jako 3. odmocninu, tedy umocnit na 1/3 a pak umocnit 3. odmocninu na 4, nebo to znamená umocnit to na 4 a poté nalézt 3. odmocninu výsledku. Oba to jsou legitimní způsoby, jak něco umocnit na 4/3. Máme tedy r na 4/3 krát s na (3 krát 2). Tedy krát s na 6. Pak umocníme každý z členů na 1/2. Takže krát… Odliším to barvami. Vlastně pak už nebudeme potřebovat závorky. Krát 4 na 1/2 krát 5 na 1/2. Tento člen tady. Krát (r na 4) na 1/2 krát, asi mi dojdou barvy, (s na 4) na 1/2. Všechny tyto členy mocníme na 1/2. Krát (s na 1/2). Je mnoho způsobů, jak to dál řešit, ale ihned mě napadá, že je tu jsou nějaké úplné čtverce a ty mocníme na 1/2. Bereme jejich odmocninu, takže je zjednodušme. Tato 4 na 1/2 je to samé co 2. Bereme kladnou odmocninu ze 4. 5 na 1/2? Neumíme to z hlavy umocnit, tak to necháme jako odmocninu z 5. (r na 4) na 1/2. Jsou dva způsoby, jak o tom přemýšlet. 4 krát 1/2 je 2. Takže je to (r na 2). Nebo můžete říct, že odmocnina z (r na 4) je (r na 2). Takže (r na 2). Podobně je odmocnina z (s na 4) je rovněž (s na 2). Pak tu je (s na 1/2), napišme to jako odmocninu z s. Právě takto. Podívejme se, co dál můžeme udělat. Máme… Napišme si další členy. Máme (r na 4/3) krát 2 krát (s na 6) krát 2 krát odmocnina z 5 krát (s na 2) krát (r na 2) krát odmocnina z s. Pár věcí můžeme udělat. Můžeme dát dohromady členy s ‚s‘. Udělejme to. Vlastně napišme dopředu 2. Vytkněme 2. Teď se podívejme na tyto dva členy s ‚s‘. Máme (s na 6) krát (s na 2). Máte-li to zjednodušit, lze to interpretovat různě. My ale řekneme (s na 6) krát (s na 2). To je (s na 8), 6 plus 2. Krát s na 8. Tohle je zajímavé, chtěli bychom to rozložit podle toho, co považujeme za opravdu zjednodušené. Máme (r na 4/3 krát r na 2), r na 4/3 je to samé jako r na (1 plus 1/3). To jsou 4/3. 1 a 1/3 plus 2 jsou 3 a 2/3. Takže krát r na (3 a 2/3). To je trochu nekonzistentní. Zde přičítám zlomek. Zde jsem nechal ‚s‘ ve tvaru odmocniny. Mohli bychom si s tím hrát a pak by to byly platné výrazy. Už jsme se zabývali 2. Zabývali jsme se i těmito dvěma ‚s‘. Zabývali jsme se i těmito dvěma ‚r‘. Pak tu máme odmocninu z 5 krát odmocninu z s. Můžeme je spojit, pokud chceme, ale ještě to neudělám. Krát odmocnina z 5 krát odmocnina z 's'. Jsou dva způsoby, jak to udělat. Nemusí se nám líbit zlomek v mocnině, pak bychom se ho mohli zbavit. Nebo bychom mohli vzít toto a spojit to s 8. mocninou. Je to totiž to stejné jako (s na 1/2). Udělejme to tedy oběma způsoby. Chceme-li spojit všechny mocniny, mohli bychom to napsat jako 2 krát (s na 8) krát (s na 1/2). Takže (s na 8 krát s na 1/2). To bude 2 krát s na… Třeba jako desetinné číslo. 8,5. 8 plus… Můžete si to představit jako (s na 0,5). To je tedy 8,5 krát r na (3 plus 1/3). Docela tu míchám zápisy. Tady mám desetinný zápis, tady mám zlomkový zápis, míchám zápisy. Krát odmocnina z 5. To je jedno zjednodušení. Mám to s nejmenším počtu členů. Jiné zjednodušení, nemáte-li rádi zlomky, mohli byste to zapsat jako… Napíšu to jinou barvou. Mohli byste to napsat jako… Všechno to jsou stejná tvrzení. Je to jen o tom, co opravdu znamená zjednodušit. Mohli byste to napsat jako 2 krát (s na 8). Namísto r na (3 plus 1/3), mohli bychom napsat (r na 3) krát (3. odmocnina z r), což je to samé jako (r na 1/3). Můžeme psát (r na 3 krát r na 1/3), (r na 1/3) je to samé jako (3. odmocnina z r). Pak je tu odmocnina těchto výrazů. Oba výrazy jsou na 1/2. Mohli byste tedy říct… Krát odmocnina z 5s. Tento se mi líbí trochu více, tento nalevo. Pro mě je to opravdu zjednodušené. Spojili jsme všechny základy. Máme tato dvě čísla, kde jsme spojili všechna ‚s‘ a všechna ‚r‘. Tohle je trochu komplikovanější. 3. odmocnina. Neodseparovali jsme ‚s‘ ani ‚r‘. Já bych si vybral tento, kdyby za mnou někdo přišel a řekl: „Hej Sale, zjednoduš to, jak budeš chtít.“
video