Racionální a iracionální čísla
Přihlásit se
Racionální a iracionální čísla (1/9) · 5:55

Co jsou racionální a iracionální čísla? Ukážeme si rozdíl mezi racionálními a iracionálními čísly a také zjistíme, že iracionálních čísel je daleko více než racionálních.

Navazuje na Vlastnosti čísel.
Řekněme si nyní něco o racionálních číslech. Racionální číslo je jednoduše jakékoliv číslo, které může být vyjádřeno jako podíl dvou celých čísel. Například jakékoliv celé číslo je racionální číslo. Číslo 1 můžeme vyjádřit jako 1/1 nebo -2 lomeno -2 nebo jako 10 000/10 000. Všechny tyto příklady představují různé způsoby jak vyjádřit číslo 1, jako podíl dvou celých čísel. Takovým způsobem mohu samozřejmě získat nekonečné množství reprezentací čísla 1, jakékoliv číslo lomeno to stejné číslo. Číslo -7 můžeme vyjádřit jako -(7/1), nebo 7 lomeno -1 nebo -14 lomeno 2. A tak bychom mohli pokračovat dál. Číslo -7 je tedy zcela jistě racionální. Můžeme ho vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Co ale s čísly, která nejsou celá? Vezměme si například 3,75. Jak můžeme toto číslo vyjádřit jako poměr dvou celých čísel? Číslo 3,75 můžete zapsat také jako 375/100 nebo jako 750/200. Mohli byste také říct, že 3,75 se rovná 3 a 3/4 nebo také 15/4. 4 krát 3 je 12, plus 3 je 15. Je to tedy 15/4. Mohli bychom to také zapsat jako -30 lomeno -8. Jen jsem vynásobil čitatele i jmenovatele -2 Je to tedy určitě racionální číslo. Dal jsem vám spoustu příkladů, jak jej můžeme vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. A co třeba periodická čísla? Vezměme si třeba nejznámější periodické číslo 0,333. Máme tedy číslo 0,333, které pokračuje donekonečna, což můžeme zapsat s pomocí malé čárky nad číslicí 3. Je to 0,3 periodicky. Později si ukážeme, jak se dá převést jakékoliv periodické číslo na podíl dvou celých čísel. Toto je zcela jasně 1/3. Možná jste viděli číslo 0,6 periodicky, což jsou 2/3. Existuje spousta dalších příkladů. Platí to pro všechna periodická čísla, nejen tam, kde se opakuje jedna číslice. Dokonce i u těch, která mají milion číslic periodicky. Pokud se část opakuje stále dál a dál, můžete takové číslo vždy vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Vím, co si asi říkáte: "Hele, Sale, to ale platí pro hodně čísel. Podle tebe jsou racionální všechna celá čísla, všechna konečná neperiodická čísla a také všechna periodická čísla. Která tedy zbývají? Existují nějaká neracionální čísla?" Uhádli jste, ano, jsou, jinak by si lidé nedávali tu práci a neoznačili by ta první jako racionální. Dokonce se ukázalo, že většina čísel známých v matematice není racionální. Říkáme jim iracionální čísla. Já jsem tu vytvořil seznam jen několika příkladů, které stojí za zmínku. Číslo Pí, poměr obvodu kruhu k jeho průměru, je iracionální číslo. Nikdy nekončí. Pokračuje stále dál a dál donekonečna a nikdy se neopakuje. Eulerovo číslo e, to samé, nikdy nekončí, nikdy se neopakuje. Objevuje se v nepřetržitém složeném úročení. Objevuje se v komplexní analýze. Eulerovo číslo je prostě všude. Odmocnina ze 2, iracionální číslo. Fí, zlatý řez, iracionální číslo. Zkrátka všechny tyto věci, které se přirozeně objevují, mnoho takových čísel je iracionálních. Mohli byste říci: "Dobře, jsou iracionální. To budou asi jen nějaké výjimky. Většina čísel jsou ale asi racionální čísla a Sal si tu prostě jen vybral nějaké výjimečné příklady." Musíme si ale uvědomit, že se zdají být výjimečná a jistým způsobem jsou výjimečná. Nejsou ale neobvyklá. Vlastně se ukazuje, že mezi dvěma racionálními čísly je vždy nějaké iracionální číslo. Mohli bychom s výčtem pokračovat dál. Je jich nekonečné množství. Nemůžete jen tak říci, že existuje méně iracionálních než racionálních čísel. V některém z následujících videí dokážeme, že pokud budeme mít dvě racionální čísla, racionální 1 a 2, bude mezi nimi alespoň jedno iracionální číslo, a to je přesný výsledek, protože iracionální čísla se zdají být výjimečná. Můžeme to chápat i jinak. Já jsem pracoval s odmocninou ze 2, vy ale vezmete odmocninu jakéhokoliv nedokonalého čtverce a výsledkem bude iracionální číslo. Vezměte si součet iracionálního a racionálního čísla… podíváme se na to později. Dokážeme si to. Součet iracionálního a racionálního čísla bude iracionální. Součin iracionálního a racionálního čísla bude iracionální číslo. Existuje tedy velké množství iracionálních čísel.
video