Komplexní čísla
Přihlásit se
Komplexní čísla (3/8) · 6:20

Mocniny imaginární jednotky Imaginární jednotku můžeme, jako každé jiné číslo nebo proměnnou, umocňovat na libovolný mocnitel. Má pro to ale speciální pravidla.

Navazuje na Vědecký zápis čísla.
Už jsme si ukázali, že když zvyšujeme mocniny „i“, střídá se 1, 'i', -1, '-i' a pak zase znovu 1, 'i', -1, '-i'. Myslím, že můžeme přejít k trochu záludnějším příkladům. A vidíte je tady na ploše, je docela zábava je řešit a uvědomovat si, že můžeme použít cyklus „i“, abychom „i“ umocnili na vyšší číslo. Jen tak pro zábavu pojďme zkusit, co bude „i na 100“. Tady vidíme, že 100 je násobek 4, takže rovnou můžeme říct, že je to to samé jako „i“ na (4 krát 25). Což je to stejné, podle práce s mocninami, jako „i na 4“ umocněno na 25. Jestliže něco umocníte nějakým číslem a výsledek pak dalším číslem, je to stejné, jako byste to mocnili součinem těch čísel. Víme, že „i na 4“ je 1, takže tohle se rovná 1. Tohle je „1 na 25“, což se zase rovná 1. Ještě jednou, využíváme cyklus mocnin „i“, ke zjištění hodnoty vysokého exponentu „i“. Zkusme ještě něco podivnějšího. Zkusíme „i na 501“. Tady v té situaci 501 není násobek 4, tak to prostě nemůžeme udělat jednoduše, ale lze to přepsat jako násobek dvou čísel. Jedno bude násobek čtvrté mocniny a jedno nebude. Taky to lze přepsat takhle: 500 je násobek 4, takže takže je to „i na 500“ krát „i na 1“, že? Když násobíme stejná čísla, tak sčítáme exponenty, takže tohle je „i“ na pětistou a na prvou. Víme, že „i na 500“ je totéž jako „i na 4“ krát co? 4 krát 125 je 500, takže tohle je ta část tady: „i na 500“ je to samé co („i na 4“) na 125 a tohle ještě krát „i“ na prvou. No „i na 4“ je 1, 1 na 125 bude zase 1, takže tohle celé tady je 1 a zbývá nám jen „i“ na prvou, takže tohle bude „i“. Vypadá to jako složitý příklad, něco, co musíte dělat celý den, ale jen můžete použít ten cyklus: „i“ na pětistou je 1, a tak „i na 501“ bude „i“ krát „i na 500“. Takže „i“ na jakýkoliv násobek čtyř… Napíšu to obecně… Takže když máte „i“ na jakýkoliv násobek čtyř… Pro teď se omezíme na nezáporná čísla, „k“ je větší nebo rovno 0, takže když máme „i“ na násobek 4, tak dostaneme 1, protože je to to samé, jako „i na čtvrtou“ na „k“, což je stejné jako 1 na „k“, což je zase 1 a když máme cokoliv jiného, když máme „i na (4k plus 1)“, nebo „i na (4k plus 2)“, tak můžeme použít tu techniku tady. Tak to zkusíme s dalšími příklady, abychom si to ujasnili, že to jde s náhodnými bláznivými věcmi. Tak vezmeme „i na 7321“. Tak teď jen musíme přijít na… Tohle bude násobek 4 plus něco, tak abychom to udělali… Lze to udělat od oka, 7320 je dělitelné 4, můžete to zkusit vypočítat, a pak zbyde 1. To bude „i na 7320“ krát „i na 1“, to je násobek 4, vím, že 100 je násobek… Každá 1000 je násobek 4, každá 100 je násobek 4 a 20 je násobek 4. Takže tohle se zjednoduší na 1. Pardon, tady má být „i na prvou“. Takže 7321 je 7320 plus 1, takže tahle část bude prostě 1 a zbyde nám „i na prvou“ nebo-li „i“. Tak zkusíme další: „i“ na 90… Zkusím něco zajímavého, „i na 99“. Takže znovu, jaký je nejvyšší násobek 4, který je menší než 99? Je to 96, takže je to to samé, jako „i na 96“ krát „i na 3“, že? Když násobíte čísla se stejným základem, přičítáte exponenty, tak dostanete 99. „i na 96“ takže tohle je násobek 4, tohle je („i na 4“) na 16. Tohle je jen 1 na 16, takže prostě 1, a teď vám jen zbyde „i na 3“ a buď si můžete pamatovat, že „i na 3“ se rovná… Že se to rovná „-i“ nebo to můžete zapomenout a prostě říct: „Podívej se, je to to samé, jako „i na 2“ krát „i“, „i na 2“ je podle definice -1, tak máme -1 krát „i“, což je '-i'.“ Udělám ještě jeden, jen pro zábavu. Vezměme si „i na 38“. No tak znovu, tohle je „i na 36“ krát „i na 2.“ „i na 36“, je to největší násobek 4, který se vejde do 38, co nám zbývá je 2. To se zjednoduší na 1 a zbývá „i na 2“, což se rovná -1.
video