Komplexní čísla
Komplexní čísla (8/8) · 5:32

Násobení komplexních čísel Poslední základní matematickou operací, jež lze provádět na komplexních číslech je jejich násobení. Pojďme to vyzkoušet.

Navazuje na Vědecký zápis čísla.
Máme vynásobit komplexní číslo 1 minus 3i krát komplexní číslo 2 plus 5i. Pravidlo při násobení je, že tato komplexní čísla násobíme stejně jako běžná dvojčlenná, jen si pamatujme, že „i“ není proměnná, ale imaginární jednotka „i“. Můžeme násobit dvěma způsoby: buď použijeme distributivní zákon dvakrát, tomu dávám přednost, není to nic nového, všechno to vychází ze základních principů, nebo můžete ta dvoučlenná čísla roznásobit. Já to udělám oběma způsoby. Na toto se můžeme dívat jako na normální číslo, 1 minus 3i a tak jím můžeme roznásobit obě čísla v tomto výrazu. Násobíme tímto celým výrazem. Můžeme násobit: (1 minus 3i) krát 2, (1 minus 3i) krát 5i. Tak to pojďme udělat. Můžeme to přepsat jako (1 minus 3i) krát 2. S dvojkou na začátku. plus (1 minus 3i) krát 5i. Pouze jsem použil distributivní zákon. Je to totéž jako bych řekl, že 'a' krát ('b' plus 'c') je totéž jako 'ab' plus 'ac'. Pouze jsem použil distributivní zákon. A násobil jsem číslem (1 minus 3i) nejprve 2 a potom 5i. A teď to udělám znovu. Mám tu 2 krát (1 minus 3i). Takže to roznásobím. 2 krát 1 je 2. 2 krát -3i je -6i. A tady to zopakuji. 5i krát 1, to je 5i. A tady je 5i krát -3i, ale tady pozor, 5 krát -3 je -15, a pak tu máme 'i' krát 'i', Napíšu to sem. 5i krát -3i. To je totéž, jako 5 krát -3 krát 'i' krát 'i'. Tedy 5 krát -3 je -15, a pak 'i' krát 'i'. To je 'i' na druhou. Ale my víme, co je 'i' na druhou. Je definováno jako -1. Podle definice 'i' na druhou je -1. Takže to je -15 krát -1, to je to samé jako +15. Toto můžeme přepsat jako 2 minus 6i plus 5i. -15 krát -1 je +15. Nyní sečteme reálné části. Máme tu 2 a +15. Tedy 2 plus 15. Potom přičteme imaginární části. Máme tu -6, vlastně -6i a pak +5i. 2 plus 15 je 17. A pokud mám -6 něčeho, plus 5 něčeho, co mám? Nebo pokud mám 5 čehosi a 6 jednotek vezmu pryč, pak mi zůstane -1 čehosi. Tedy -6i plus 5i je - 1i. Nebo mohu říci jen -i. Takže takto jsem vynásobil tyto dva výrazy nebo vlastně dvě komplexní čísla. Pouze jsem dvakrát použil distributivní zákon. Také byste to mohli jenom normálně roznásobit. A teď to ukážu, velmi rychle. Je to trochu rychlejší, ale i mechaničtější. Takže můžete zapomenout, proč to vlastně děláte. Ale v podstatě je to jedna a ta samá věc. Pouze vynásobíte každý člen tohoto prvního čísla nebo každou část prvního čísla s každou částí tohoto druhého čísla. A pomůckou je toto pravidlo. Napíšu to sem. Nemám to pravidlo v oblibě, ale napíšu to pro případ, že jste se to tak učili. Toto pravidlo nám říká - nejprve vynásobte první čísla, to bude 1 krát 2. To jsou první čísla. (F jako FIRST v anglickém FOIL) Pak vynásobte vnější čísla, to máme 1 krát 5i. Tedy plus 1 krát 5i. To jsou vnější čísla (O jako OUTER). Pak vnitřní čísla. (I jako INNER) -3i krát 2. Takže toto je -3i krát 2. Toto jsou vnitřní čísla. A pak uděláme poslední čísla. -3i krát 5i. (L jako LAST) Toto jsou naše poslední čísla. To je vše, co nám toto pravidlo řekne. Pouze se ujistíme, že násobíme každou část tohoto čísla s každou částí druhého čísla. A teď to zjednodušíme. 1 krát 2 je 2 1 krát 5i je 5i. -3i krát 2 je -6i A -3i krát 5i, to jsme už jednou vypočetli, a ukázalo se, že -3i krát 5i je 15 -3 krát 5 je -15. Ale 'i' krát 'i' je -1. A -15 krát -1 je +15. To přidáme k reálným částem: 2 plus 15, to dostaneme 17. A pak přičteme imaginární části: máme zde 5i minus 6i. A to je '-i'. A dostali jsme přesně stejnou odpověď.
video