Komplexní čísla
Přihlásit se
Komplexní čísla (2/8) · 4:04

Odmocnina ze záporného čísla V tomto příkladu využijeme imaginární jednotku v praxi. Lze s ní totiž upravit odmocnina ze záporného čísla. Pojďme si ukázat jak.

Navazuje na Vědecký zápis čísla.
Máme zjednodušit odmocninu z -52 a vzhledem k tomu, že je to záporné číslo pod odmocninou, půjde o kořen komplexní funkce, do které se dají dosadit i záporná čísla a vychází imaginární nebo komplexní výsledek. Můžeme -52 rozepsat jako -1 krát 52. Takže tu bude odmocnina z -1 krát 52. A pokud dále předpokládáme, že řešíme rovnici v komplexních číslech, můžeme dále přespat na odmocninu z -1 krát odmocninu z… Nebo můžeme říci odmocnina z -1 krát odmocnina z 52. Teď chci, aby to bylo úplně jasné. To, co jsme právě udělali, lze pouze když máme v odmocnině kladný výraz. Můžeme ho rozepsat jako odmocninu součinu a potom rozdělit na součin, ale pouze když… Měl bych říci, že to lze pouze když obě čísla jsou kladná, nebo jen jedno z nich je záporné. Nelze to udělat, pokud jsou obě záporná. Například nelze udělat tohle. Nelze napsat, že odmocnina z 52 rovná se odmocnina z -1 krát -52. No, 52 takhle rozložit lze, rozhodně to je -1 krát -52. Ale jakmile jsou obě čísla záporná, nelze už potom říci, že se to rovná odmocnině z 1 krát odmocnině z -52. Klidně vás nad tím nechám uvažovat, ale dojdeme k nesmyslnému výsledku. To není v pořádku. Nelze to udělat takto a důvod proč to nelze, je ten, že tato vlastnost nefunguje pro dvě záporná čísla. Takže potřebujeme obě čísla nezáporná, nebo alespoň jedno z nich. Odmocnina z -1, pokud se bavíme o komplexních číslech, je ‚i‘. Tohle se tedy zjednoduší na ‚i‘. A schválně, zda dokážeme také zjednodušit odmocninu z 52. Abychom toho dosáhli, vymyslíme prvočíselný rozklad. Třeba najdeme číslo, které je druhou mocninou. Takže 52 je 2 krát 26 a 26 je 2 krát 13. Takže tu máme 2 krát 2, neboli 4, což je mocnina nějakého čísla. Takže to nyní můžeme přepsat jako to se rovná… Tady je to ‚i‘. Odmocnina z… Odmocnina z -1 je ‚i‘, ale také ‚-i‘. Kladná odmocnina z -1 je ‚i‘, a to vynásobíme odmocninou z 4 krát 13. 4 krát 13. A to se rovná ‚i‘ krát odmocnina ze 4 krát odmocnina ze 13. Odmocnina ze 4 je 2, takže se nám to zjednoduší na… A také tady můžeme prohodit pořadí… Bude to 2 krát odmocnina ze 13… 2 krát odmocnina ze 13 krát ‚i‘. Jen jsem prohodil pořadí kvůli snadnějšímu čtení, necháme ‚i‘ vzadu za čísly, takže vlastně násobíme ‚i‘ krát 2 krát odmocnina z 13. To je totéž jako násobit 2 krát odmocnina ze 13 krát ‚i‘. A tohle už je nejvíc zjednodušené, jak jen to jde.
video