Zjednodušování odmocnin záporných čísel pomocí imaginární jednotky

Dnes máme za úkol zjednodušit odmocninu z -52. První, čeho si určitě všimnete je, že máme pod odmocninou záporné číslo. A už to nám zřejmě napoví, že řešením této odmocniny bude komplexní číslo. Tedy když budeme odmocňovat záporné číslo, tak dostaneme výsledek s imaginární jednotkou, o které jsme si už říkali. Takže, pojďme si to trošku upravit. Odmocnina z -52 je to samé jako odmocnina z -1 krát 52. Takto. Pohybujeme se stále v komplexních číslech, takže toto si můžeme dále zkusit upravit, jako odmocninu z -1 krát odmocninu z 52. Tedy že vezmeme odmocniny jednotlivých činitelů tohoto součinu, prvně je odmocníme a potom výsledky vynásobíme. Tuto úpravu můžeme udělat, pouze pokud jsou v tomto součinu oba činitelé kladní, anebo je kladný alespoň jeden. Nemůžeme to udělat, pokud jsou oba dva činitelé záporní. Nemůžeme tedy udělat například to, že bychom vzali odmocninu z 52, řekli si, že 52 je vlastně -1 krát -52 a že to bude odmocnina z -1 krát -52... pozor toto je ještě v pořádku, tady to je ještě v pořádku, protože -1 krát -52 je opravdu 52, ale už v žádném případě nemůžeme tvrdit, že toto se rovná odmocnina z -1 krát odmocnina z -52. Jak už jsem řekla, alespoň jeden z těch činitelů musí být kladný, což tady neplatí a toto se tedy nerovná. Můžete si zkusit dopočítat výsledek tady tohoto součinu a dostanete nesmysl. Takto to prostě nefunguje. Ale tady nám to takto funguje, takže můžeme pokračovat dál. Pohybujeme se, jak už jsem řekla, v komplexních číslech a my tedy víme, že -1 je vlastně i na druhou. A tedy odmocnina z i na druhou je i. Mohlo by to být samozřejmě i -i, ale druhou odmocninu máme definovanou jako nezáporné číslo a tedy to bude i. Když definujeme odmocninu nezáporného reálného čísla jako nezápornou, vybíráme tím vlastně jednu ze dvou větví té funkce odmocnina. A to samé pak musíme udělat, když odmocninu zobecňujeme na ryze imaginární a potom i komplexní čísla. Takže i krát odmocnina z 52. Teď se podívejme, jestli se nám v čísle 52 neskrývá druhá mocnina. Rozložíme si 52 na prvočinitele. 2 krát 26, 26 je 2 krát 13 a dál už rozkládat nemůžeme. Vidíme, že tu v rozkladu máme 2 krát dvojku. Takže si to můžeme přepsat jako i krát odmocnina ze 4, 2 krát 2, krát 13. Můžeme provést obdobnou úpravu jako zde a tedy napsat, že to je i krát odmocnina ze 4 krát odmocnina z 13 Oba dva činitelé jsou kladní, můžeme tedy tuto úpravu provést. Odmocnina ze 4 jsou 2. Takže už se dostáváme k výsledku. Jenom si prohodíme pořadí těchto činitelů, což u součinu můžeme. A dostaneme tedy: odmocnina ze 4 jsou 2 krát odmocnina z 13i. i si dáme na konec, aby to hezky vypadalo, ale samozřejmě by mohlo být i na začátku. Takže jsme se dostali od odmocniny z -52 k 2 krát odmocnina z 13i. A to je náš výsledek.