Komplexní čísla
Přihlásit se
Komplexní čísla (4/8) · 6:45

Imaginární jednotka jako odmocnina z -1 Jak to tedy je s tím, že imaginární jednotka "i" je rovna odmocnině z -1? Pojďme si to v tomto videu ujasnit.

Navazuje na Vědecký zápis čísla.
Během své matematické kariéry jste možná potkali lidi, kteří říkají, že je špatné tvrdit, že ‚i‘ je odmocninou z -1. A když se jich zeptáte proč, vytasí se s touto logikou, která zní celkem rozumně. Řeknou vám, že dobře, vezměme si tedy -1. Z definice víme, že -1 se rovná ‚i‘ krát ‚i‘. „Zatím vše vypadá celkem jasně,“ řeknou vám. A také: „Pokud předpokládáme, že pro tuto část napravo, že platí, pak můžeme každé z ‚i‘ nahradit odmocninou z -1.“ Což je pravda. Tedy to bude odmocnina z -1 krát odmocnina z -1. A pak řeknou, že přímo z vlastností odmocnin vyplývá, že odmocnina z ‚a‘ krát ‚b‘ je totéž, jako odmocnina z ‚a‘ krát odmocnina z ‚b‘. A také odmocnina z ‚a‘ krát odmocnina z ‚b‘ je totéž, jako odmocnina z ‚a‘ krát ‚b‘. Takže podle těchto vlastností odmocnin řeknou, že tahle je věc se rovná odmocnině -1 krát -1, když máme odmocniny ze součinu dvou výrazů, je to totéž, jako součin jejich odmocnin, zde v různých pořadích. Tady byla odmocnina součinu, tady máme tuhle věc napravo. Také víme, že -1 krát -1 je 1 takže to je odmocnina z 1. Zajímá nás odmocnina z 1, chceme kladný kořen odmocniny, což bude 1 a oni řeknou, že ne, očividně se -1 a 1 nerovnají. A proto nelze udělat substituci, kterou jsme udělali v tomto kroku. Ale ne že by problém byl v té rovnosti 1 rovná se -1, problém je použití této vlastnosti odmocniny pro dvě záporná čísla. Pro obě záporná to nikdy nebude fungovat, občas se píše pod čarou, čehož si možná nevšimnete kvůli drobnému písmu, pokud to čtete poprvé, většinou je tu popsáno, že ‚a‘ a ‚b‘ musí být nezáporná, takže toto jsou nutné podmínky, aby se nestalo, že ‚a‘ i ‚b‘ jsou záporné. Poslední tři minuty jsem strávil tím, že říkám, že lidé, kteří to tvrdí, se mýlí. Měli byste být ovšem s takovým tvrzením opatrní, pokud se bavíme o klasické kladné odmocnině čísla, vezměme kladnou odmocninu z čísla 4, to je kladná 2, ačkoliv 4 má i odmocninu -2, protože -2 krát -2 je také rovno 4. Tento symbol nám značí kladný kořen odmocniny, ať už se zabýváme reálnými nebo imaginárními čísly, toto bude kladný kořen odmocniny, ač tady jsou dva kořeny, 2 a -2, ale jestliže tady máme symbol odmocniny, znamená to kladný kořen, 2. Tedy když chceme odmocňovat záporná čísla, případně když budeme řešit imaginární a komplexní čísla, musíme rozšířit naši definici ohledně odmocniny, takže když odmocňujeme nějaké záporné číslo, už to není tradiční kladný kořen funkce, je to nyní kladný komplexní kořen funkce, budeme je hledat pro komplexní čísla a mohou tedy vycházet komplexní. Nebo se také můžeme bavit o rozsahu, z čehož přímo vyplývá, že odmocnina z -x se rovná ‚i‘ krát odmocnina z x, a to říkám jen proto, jak jsem vám vysvětloval, že to funguje, jen pokud nejsou oba výrazy záporné. Tehdy to funguje, takže to lze použít pouze v případě, že x je nezáporné, Takže pokud je x větší než 0, protože jinak by x bylo záporné číslo, může být x klidně rovno 0, pak lze použít tohle pravidlo, ale pokud by x bylo menší než 0, tak bychom to prováděli nesmyslně se špatným výsledkem. A odsud už je vidět, že ‚i‘ je doopravdy odmocninou z -1, A protože je to kladným kořenem odmocniny, pak se to dá přepsat jako odmocnina z -1 krát odmocnina z x, takže chyba v tom, když někdo říká, že -1 se nerovná 1, je ten, že používají tuto vlastnost, i když ‚a‘ i ‚b‘ jsou záporné, tudíž vychází potom špatný výsledek. Pokud rozšíříme definici i na komplexní čísla, případně na záporná čísla, s tím, že se budou používat imaginární ‚i‘, pak je možné říci, že odmocnina z -x se rovná -1 krát... Je to tedy přesněji odmocnina z -x, je totéž jako odmocnina z -1 krát odmocnina z x, kde x je větší než 0. Abych vás nemátl, pokud x je větší nebo rovno než 0, toto je očividně , tohle -x, to je určitě záporné, nebo spíše nekladné číslo.
video