Komplexní čísla
Přihlásit se
Komplexní čísla (5/8) · 4:44

Úvod do komplexních čísel Co jsou komplexní čísla a jak se liší od reálných? Jak se taková čísla dají zobrazit graficky?

Navazuje na Vědecký zápis čísla.
Většinu svého matematického života jste strávili studiem reálných čísel. Reálná čísla obsahují i věci jako 0, 1 či 0,333 periodicky, pi, nebo e. Mohu vypsat různá reálná čísla, to jsou ta, která všichni známe. A teď máte možnost poznat něco zajímavého. Definujeme si věc, kterou když umocníme, vyjde -1. Definujeme ji tak, že po odmocnění nám vyjde -1. Bude to ‚i‘. Definujeme tak celou novou třídu čísel, která jsou násobky imaginární jednotky ‚i‘. Takže imaginární číslo může být ‚i‘, -‚i‘, pi krát ‚i‘ nebo ‚e‘ krát ‚i‘, což nás přivádí k zajímavé otázce, co když spojíme reálné a imaginární číslo? Co když máme číslo, které je součtem nebo rozdílem reálného a imaginárního? Řekněme například, že mám číslo ‚z‘. a ‚z‘ je nepoužívanější označení, když se lidé baví o komplexních číslech. Nechť ‚z‘ se rovná reálnému číslu 5 plus imaginárnímu 3 krát ‚i‘. Takže tady máme reálné plus imaginární číslo. Možná vás láká sečíst tyto dvě dohromady, to ale nejde. Nedávalo by to žádný smysl, každé z čísel je jiné, jak uvidíte i na obrázku. Toto už nelze více zjednodušit, nelze sečíst reálnou a imaginární část. A u tohohle čísla, snad je to jasné, tohle je reálná část a tohle imaginární. Takovýmto číslům říkáme komplexní. Mají reálnou a imaginární část. a občas uvidíte takovýhle zápis. Nebo se někdo může ptát, jaká je reálná část komplexního čísla ‚z‘. Tady v tom případě by to bylo 5. Nebo se může zeptat na imaginární část. Jaká je imaginární část našeho komplexního čísla ‚z‘? A vzhledem k tomu, jak je tato funkce definovaná, ve skutečnosti chceme vědět, jakým číslem je vynásobeno ‚i‘. V našem případě je to 3. Můžeme si to i znázornit, dá se to zobrazit ve dvojrozměrném prostoru. Začneme s tradiční dvojrozměrnou kartézskou soustavou souřadnic s reálnými čísly na vodorovné ose, zatímco na svislé ose, abychom mohli zobrazit komplexní čísla, na svislé ose jsou imaginární čísla. Toto je imaginární část a na vodorovné ose je reálná část. Zakreslíme reálnou část, přesně tak, takže například u tohohle ‚z‘, 5 plus 3 ‚i‘. Reálná část je 5, takže najdeme 1, 2, 3, 4, 5. Tady je 5, přesně zde. Imaginární část je 3. Jedna, dva, tři. Takže v naší komplexní rovině bude naše číslo přesně tady. Tady to je způsob, jak zobrazit ‚z‘ v komplexní rovině. Je to 5 na reálné ose. A 3 na imaginární ose. Můžeme vyznačit i jiná komplexní čísla. Řekněme, že máme komplexní číslo ‚a‘, které se rovná například -2 plus ‚i‘. Kde v grafu se bude nacházet? Reálná část je -2 a imaginární část je 1, takže jdeme o 1 nahoru, což je zde. Takže tohle je naše komplexní číslo ‚a‘. Komplexní číslo ‚a‘ bude přímo zde, v tomto bodě komplexní roviny. Udělám ještě jedno. Řekněme, že máme komplexní číslo ‚b‘. Které se bude rovnat 4 minus 3 ‚i‘. Kde se bude nacházet? 1, 2, 3, 4. A potom, podívejme, -1, -2, -3. To nás dostává sem. Takže přesně tady bude komplexní číslo ‚b‘.
video