Úvod do komplexních čísel

Většinu svého matematického života jste pravděpodobně strávili s reálnými čísly a s operacemi s těmito reálnými čísly. Reálná čísla to je třeba: 0, 1, 0,3 periodických, pí, e atd. Mohli bychom strávit hodiny vyjmenováváním různých reálných čísel, která známe. Co kdybychom k tomu přidali něco zajímavého? Něco, nějaké číslo, jehož druhou mocninou je -1. Záporné číslo. A takové číslo jsme si už představili v minulých videích. A je to i. i na druhou je -1 To už víme. Pomocí tohoto můžeme dostat úplně novou třídu čísel, která kromě reálné části bude mít také část imaginární. A tato imaginární část se bude v podstatě skládat z násobků naší imaginární jednotky i. Takže to bude třeba i, -i, pí krát i, e krát i a tak dále. A co se stane, když zkombinujeme tuto reálnou a tuto imaginární část? Potom dostaneme komplexní číslo. Když zapisujeme komplexní číslo, nejčastěji mu dáváme proměnnou z. Takže z se může rovnat třeba 5 + 3i. Hned si to vysvětlíme. Komplexní číslo se tedy skládá z části reálné a z části imaginární. A tyto části jsou v součtu, popřípadě je od sebe odečítáme. Ale tyto 2 části, reálnou a imaginární, sčítat nebo odečítat od sebe přímo nemůžeme Sečíst reálnou a imaginární část nelze. Jsou to 2 různé věci. Toto už je klasický zápis komplexního čísla, který nejde zjednodušit. Takže ještě jednou, toto je reálná část a toto je část imaginární. A toto celé 5 + 3 i je tedy komplexní číslo. Často chceme zjistit, jaká je reálná část toho čísla a jaká je imaginární. To zapíšeme takto (Re)z tedy jaká je reálná část z a my si odpovíme, že to je 5. Potom bychom chtěli znát imaginární část tohoto čísla a to zapíšeme takto a tato funkce je většinou definována tak, že chceme jenom znát to číslo, kterým to i násobíme. Nepíšeme tady i a napíšeme pouze 3. Takto. Komplexní čísla si můžeme znázornit ve dvojrozměrném prostoru podobně jako jsme to dělali s čísly reálnými. Načrtnu si 2 osy, tentokrát to nebude osa x a osa y, ale něco trošku jiného. Předtím jsme měli na obou osách reálná čísla, tentokrát budeme mít místo osy x osu Re tedy reálnou část toho čísla a místo osy y bude osa Im, ta imaginární část komplexního čísla. Pojďme si znázornit naše číslo z. To číslo z je 5 + 3i. Reálná část, jak už jsme zjistili, je 5, imaginární 3. Číslo z bude tedy ležet někde tady. Této rovině, kterou jsme si načrtli, se říká komplexní rovina. Nebo také Gaussova rovina. A v této rovině potom můžeme zobrazovat komplexní čísla. Pojďme si načrtnout další komplexní čísla, abychom věděli, jak na to. Další komplexní číslo a se bude rovnat třeba -2 + i Reálná část je -2... tady... imaginární část plus 1. Takže číslo a bude ležet někde tady. A zkusme si ještě jedno číslo, třeba číslo b, to se bude rovnat 4 - 3i. Reálná část je 4, imaginární je -3. Číslo b bude v naší komplexní Gaussově rovině ležet někde tady.