Dělitelé a násobky
Dělitelé a násobky (11/13) · 5:24

Nejmenší společný násobek Nejmenší společný násobek, dva způsoby určení.

Navazuje na Dělení.
Jaký je nejmenší společný násobek čísel 15, 6 a 10? Nejmenší společný násobek je přesně to, co tato slova říkají: nejmenší společný násobek. Vím, že vám to zatím nic moc neřekne, ale vysvětlíme si to na příkladu. Zamysleme se nad různými násobky čísel 15, 6 a 10 a pak najdeme nejnižší násobek, který mají společný. Najděme násobky 15, takže 1 krát 15 je 15, 2 krát 15 je 30 Pokud znovu přičtete 15 dostáváte 45. Přičtete-li opět 15, dostáváte 60, přičtete 15 dostáváte 75, znovu přičtete 15 a dostáváte 90, přičtete 15 dostáváte 105 a pokud by žádné z těchto čísel nebyl nejmenší společný násobek, pak bychom museli dále přičítat. Já se tu však zastavím. Tohle jsou násobky 15 až do 105 a mohli bychom pokračovat dále. Teď si zkusíme napsat násobky 6. 1 krát 6 je 6, 2 krát 6 je 12, 3 krát 6 je 18, 4 krát 6 je 24, 5 krát 6 je 30, 6 krát 6 je 36, 7 krát 6 je 42, 8 krát 6 je 48, 9 krát 6 je 54, 10 krát 6 je 60. Číslo 60 vypadá zajímavě, protože je to společný násobek 15 a 6. Máme tu dokonce dva společné násobky: 30 a 60 je u obou násobků. Takže nejmenší společný násobek čísel 15 a 6 je 30. Napíši to sem. Nejmenší společný násobek 15 a 6, nebo také nejmenší násobek, který mají společný, je 30. 2 krát 15 je 30, 5 krát 6 je také 30. Takže je to určitě společný násobek obou čísel a zároveň i nejmenší násobek obou čísel. 60 je také společný násobek, ale ne nejmenší. My potřebujeme nejmenší, což je 30. Ještě jsme se nezamysleli nad násobky 10, tak je sem napíšeme. Takže násobky deseti jsou 10, 20, 30, 40. A už jsme dost daleko, protože už jsme dostali na 30 a 30 je společný násobek 15 a 6 a je to nejmenší společný násobek. Takže nejmenší společný násobek 15, 6 a 10 je 30. Tohle je jeden ze způsobů, jak najít nejmenší násobek. Doslova se kouknout na násobky všech čísel a pak se podívat jaký mají společný nejmenší násobek. Dalším způsobem jak ho najít je rozložit si čísla na součin prvočísel a nejmenší společný násobek bude číslo, jehož rozklad na prvočísla bude obsahovat všechna prvočísla rozkladů čísel, jejichž společný násobek hledáme. Ukážu vám, co se tím myslí. Takže můžete to udělat předchozím způsobem nebo napsat, že 15 je 3 krát 5 a nic víc, protože to je jeho rozklad na prvočísla. 3 i 5 jsou prvočísla. A můžeme napsat, že 6 je to samé jako 2 krát 3. A to je rozklad čísla 6 na prvočísla, protože 2 i 3 jsou prvočísla. A také můžeme napsat, že 10 je to samé co 2 krát 5. Jak 2 i 5 jsou opět prvočísla, takže máme prvočíselný rozklad. Takže nejmenší společný násobek 15, 6 a 10 musí mít všechny tyto prvočinitele. A aby bylo jasno, tak tím je řečeno, že aby byl dělitelný 15, tak musí obsahovat alespoň jedno číslo 3 a alespoň jedno číslo 5 ve svém prvočíselném rozkladu. Takže musí mít alespoň jednu 3 a jednu 5. Pokud má 3 krát 5 ve svém rozkladu, tak to zaručuje, že je dělitelné 15. Aby byl dělitelný 6, tak musí obsahovat alespoň jednu 2 a jednu 3. Takže musí obsahovat alespoň jednu 2 a jednu 3 už zde máme a to je vše co potřebujeme. Potřebujeme pouze jednu 3. Potřebujeme pouze jednu 2 a jednu 3, protože 2 krát 3 nám zabezpečí, že číslo bude dělitelné 6. A aby bylo jasno tohle je 15. A aby bylo číslo dělitelné 10, tak musíme mít jednu 2 a jednu 5 a to máme. Musíme mít alespoň jednu 2 a jednu 5. Tyto dvě prvočísla nám zaručují, že číslo bude dělitelné 10. Máme tedy už všechna prvočísla. (2 krát 3 krát 5) obsahuje všechna prvočísla tvořící čísla 10, 6 a 15. Toto je nejmenší společný násobek, takže pokud to vynásobíme, vyjde nám 2 krát 3 je 6, 6 krát 5 se rovná 30. Ukázal jsem vám oba způsoby a u obou jste viděli, že fungují. Druhý způsob je trošku lepší, pokud pracujeme s velkými čísly, kde bychom museli zdlouhavě násobit. Obě metody se dají použít pro nalezení nejmenšího společného násobku.
video