Dělitelé a násobky
Přihlásit se
Dělitelé a násobky (13/13) · 15:58

Příklad: Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel Slovní úlohy s nejmenším společným násobkem a největším společným dělitelem.

Navazuje na Dělení.
William a Luis chodí na různé hodiny fyziky na škole Santa Rita. Luisova učitelka vždy zadává testy s 30 otázkami, zatímco Williamova učitelka dává testy častěji a jen s 24 otázkami. Luisova učitelka zároveň každý rok zadává 3 projekty. Přestože obě třídy píší různý počet testů, jejich učitelky jim řekly, že obě třídy... Podtrhnu to tu. Obě třídy budou mít za rok stejný celkový počet testových otázek. Jaký je nejmenší možný počet testových otázek, který mohou třídy Luise a Williama očekávat v daném roce? Přemýšlejme o tom, co se tu děje. Zaměříme se na Luisovu učitelku, která zadává v každém testu 30 otázek. Po prvním testu by tedy měl 30 otázek. Tady je 0. Po druhém testu by měl 60, po třetím pak 90 a po čtvrtém testu 120. A po pátém testu, jestli nějaký bude, by měl...to je pokud budou tolik testů psát... měl by celkem 150 otázek. A tak bychom mohli pokračovat a vypisovat všechny násobky čísla 30. To nám asi už napovídá, o co tady vlastně jde. Hledáme násobky čísel. Chceme ty nejnižší možné násobky čili nejmenší násobek. Tak to máme Luise. Jak to bude s Williamem? Takže, Williamova třída se po prvním testu dostane k 24 otázkám. Po druhém testu jich budou mít 48. Po třetím se dostanou k číslu 72. Pak se dostanou k 96. Jen vypisuji násobky čísla 24. Po čtvrtém testu se dostanou k 96 otázkám. Po pátém testu se pak dostanou k číslu 120. A jestliže budou psát i šestý test, dostanou se k 144 otázkám. A tak bychom mohli pokračovat. Na co se nás vlastně ptají? Minimálně kolik testových otázek mohou třídy Luise a Williama během roku očekávat? Naším minimálním počtem je bod, ve kterém jsme se dostali na stejný počet testových otázek i přes skutečnost, že se testy z hlediska počtu otázek lišily. A vy vidíte, že obě čísla dosáhla stejného násobku na čísle 120. Bodem, který hledáme, je číslo 120. Obě třídy mohou mít přesně 120 testových otázek, přestože Luisova učitelka zadává testy s 30 otázkami a Williamova učitelka zase s 24 otázkami. Odpověď je tedy 120. Všimněte si, že měli různá množství testů. Luis psal 1, 2, 3, 4 testy, kdežto William by musel psát 1,2,3,4,5 testů Ale oba mají celkem 120 otázek. Když se zamyslíme nad matematickými zápisy nebo nad zápisem nejmenšího společného násobku, který jsme již viděli, vlastně se nás ptají jaký je nejmenší společný násobek čísel 30 a 24. A tím nejmenším společným násobkem je 120. Existují další způsoby, jak najít nejmenší společný násobek bez vypisování všech násobků. Můžete to řešit rozkladem na prvočísla. 30 je 2 krát 15, což je 3 krát 5. Můžeme tedy říci, že 30 se rovná 2 krát 3 krát 5. A 24... To je jiná modrá. 24 se rovná 2 krát 12. 12 se rovná 2 krát 6. 6 se rovná 2 krát 3. 24 se tedy rovná 2 krát 2 krát 2 krát 3. Dalším způsobem, jak zjistit nejmenší společný násobek, aniž bychom dělali to cvičení nahoře, je říct si, že číslo, které hledáme, musí být dělitelné 30 a 24. Aby bylo dělitelné 30, musí v sobě mít 2 krát 3 krát 5 po rozkladu na prvočísla. Což je v podstatě 30. Tím pádem to bude dělitelné číslem 30. A aby bylo dělitelné i číslem 24, po rozkladu na prvočísla bude potřebovat tři 2 a jednu 3. My už jednu 3 máme. Taky máme jednu 2, takže už jen potřebujeme 2 další 2. Tedy 2 krát 2. Díky tomu je to... Trochu to posunu. Díky tady tomu je to dělitelné číslem 24. Toto je v podstatě rozklad na prvočísla nejmenšího společného násobku čísel 30 a 24. Pokud odeberete kterékoliv z těchto čísel, nebude to již dělitelné některým z těchto dvou čísel. Pokud odeberete 2, nebude to již dělitelné číslem 24. Pokud odeberete 2 nebo 3. Pokud odeberete 3 nebo 5, nebude to již dělitelné číslem 30. Když mezi sebou všechna tato čísla vynásobíte, bude to 2 krát 2 krát 2 je 8 krát 3 je 24 krát 5 je 120. Pojďme si vypočítat ještě jeden takový příklad. Umama právě koupila jeden balíček s 21 pořadači. To číslo si napíšu. 21 pořadačů. Zároveň koupila balíček s 30 tužkami. 30 tužek. Chce použít všechny pořadače a tužky, aby vytvořila stejné sady kancelářských potřeb pro své spolužáky. Jaký je nejvyšší možný počet naprosto stejných sad, které může Umama vytvořit s použitím všech koupených potřeb? Slovo nejvyšší nám napovídá, že budeme hledat největší společný dělitel. Také budeme tyto věci dělit. Chceme je rozdělit na největší možný počet stejných sad. Je několik způsobů, jak o tom můžeme přemýšlet. Zamysleme se nad tím, jaký je největší společný dělitel obou těchto čísel. Můžete také říci největší společný celočíselný dělitel. Největší společný dělitel čísel 21 a 30. Takže, jaké je největší možné číslo, kterým můžeme obě čísla vydělit? Mohli bychom hledat prvočíselného dělitele, nebo vypsat všechny normální dělitele a najít ten největší společný. Nebo bychom je mohli rozložit na prvočísla. Pojďme si je rozložit na prvočísla. Takže, 21 je to samé jako 3 krát 7. Obě to jsou prvočísla. Číslo 30 je... mohl bych to napsat takto... je to 2 krát 15. To jsme vlastně už dělali. A 15 je 3 krát 5. Takže, jaké je to největší prvočíslo, kterým jsou dělitelná obě čísla? No, společnou mají jen 3. A pak už nemáte 3 krát nějaké další číslo. Takže se to bude rovnat 3. To nám v podstatě říká, že můžeme vydělit obě tato čísla číslem 3 a dá nám to největší možný počet stejných sad. Ujasněme si, co tu děláme. My už víme, že odpověď na naši otázku je 3, ale abychom si to lépe představili nakreslíme si těch 21 pořadačů. 21 pořadačů, takže to máme 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21. A pak 30 tužek, ty si uděláme zeleně. Takže, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Zbytek jen zkopíruji a vložím. Začíná to být únavné. Kopírovat a vložit. To máme 20. A pak znovu vložíme a dá nám to 30. Teď, přišli jsme na to, že 3 je největší číslo, které rovnoměrně dělí obě tato čísla. Mohu je tedy obě rozdělit do tří skupin. Co se týče pořadačů, tak ty mohu rozdělit do tří skupin po 7. A co se tužek týče, ty mohu rozdělit do tří skupin po 10. Pokud má Umama ve třídě 3 spolužáky, mohla by každému z nich dát 7 pořadačů a 10 tužek. To je největší možný počet identických sad, které může Umama vytvořit. Měl bych 3 sady. Každá sada by obsahovala 7 pořadačů a 10 tužek. V podstatě jen hledáme číslo, které rovnoměrně rozdělí obě tyto sady. To největší možné číslo, které rovnoměrně rozdělí obě tyto sady.
video