Záporná čísla
Přihlásit se
Záporná čísla (8/9) · 4:08

Proč nám násobení dvou záporných čísel intuitivně dává smysl Použití opakovaného přičítání nebo odčítání při násobení pro pochopení násobení záporných čísel.

Řekněme, že jako starověký filosof matematiky jste dospěli k závěru, že násobení kladného a záporného čísla je v souladu se vším, co jste doposud dělali a co víte o vlastnostech násobení. Víme, že záporné číslo krát kladné číslo nebo kladné číslo krát záporné nám dá záporné číslo. A že záporné číslo krát záporné číslo nám dá kladné číslo. Víme tedy, že to vše je v pořádku. Ale ještě nám to nedává úplně smysl a chtěli bychom tomu porozumět trochu hlouběji, než jen přijmout, že zde také platí distributivita či cokoliv jiného. Zkusíme se tedy zamyslet a řekneme si: "Co vlastně dělá klasické násobení?" Vezměme si 2 krát 3. Jeden způsob jak to pojmout, je uvědomit si, že násobení je jen opakované sčítání, můžeme na to tedy pohlížet jako na 2 trojky. Napíšeme tedy 3 plus 3 a všimněte si, že jsou dvě, jsou zde dvakrát. Nebo na to můžeme pohlížet jako na 3 dvojky, je to tedy stejné jako 2 plus 2 plus 2 a celkem jsou tři. Tak či tak, vždy dostaneme tentýž výsledek. Bude to rovno 6. Dobrá. To víme ještě před tím, než se pustíme do záporných čísel. Nyní jedno z nich uděláme záporné a uvidíme, co se stane. Uděláme 2 krát -3. Udělám to záporné jinou barvou. 2 krát -3. Můžeme na to dívat stejným způsobem jako předtím, je to 2krát -3. Bude to tedy -3... Zkusím to rozdělit barevně. -3 a další -3. Můžeme také říci -3 minus 3. Nebo, a to je zajímavá věc, můžeme tak, jak jsme si ukázali zde, 2 krát 3 dvojku sečteme třikrát. Ale protože zde máme 2 krát -3, můžeme si to představit tak že odečítáme číslo 2 třikrát. Sem nahoru jsem mohl klidně napsat +2 plus 2 plus 2, protože zde máme kladnou trojku. A protože zde nyní máme zápornou trojku, můžeme si představit, že odečítáme dvojku třikrát. Bude to tedy... Odečítáme 2. Odečteme dvojku, odečteme další dvojku a poté ještě odečteme další dvojku. Všimněte si, že jsme to opět provedli třikrát. Tohle byla -3, nakonec tedy odečítáme číslo 2 třikrát. A v obou těchto případech dostaneme stejný výsledek, -6. -6 je výsledek. Nyní, když jsme si zopakovali, že násobíme-li kladné a záporné číslo nebo záporné a kladné číslo, vždy dostaneme číslo záporné. Teď se podíváme na něco, co není moc intuitivní, záporné krát záporné. Najednou se záporná čísla nějak vyruší a dostaneme číslo kladné. Proč tomu tak je? Budeme vycházet z předchozího příkladu. Řekněme, že máme zápornou dvojku, máme tedy -2... Udělám to jinou barvou. Máme -2, tuto barvu už jsem používal. -2 krát -3. Nyní můžeme... Raději začnu tímto. Něco násobíme zápornou trojkou, to znamená, že opakovaně odečteme tuto věc třikrát, ať je to cokoliv. Ale to něco není kladná dvojka, ta věc je záporná dvojka. Vyjasním to tedy. Tohle nám říká, že budeme něco odečítat třikrát, něco tedy třikrát odečteme, odečítáme něco opakovaně, třikrát. To nám říká tato část a uděláme to přesně třikrát. Předtím to byla kladná dvojka, kterou jsme odečítali třikrát, nyní máme zápornou dvojku, budeme odečítat zápornou dvojku. A my víme z odečítání záporných čísel, už jsme si vytvořili tu domněnku, že odečítání záporného čísla je to samé jako přičítání kladného. Bude to tedy stejné jako 2 plus 2 plus 2, což nám opět dá +6. Stejnou logiku můžeme použit i tady. Nyní místo sčítání záporné trojky dvakrát, zde jsem to mohl zapsat jako zápornou trojku, záporná trojka, sčítáme to. Sečetli jsme to, napíšeme tu plus, aby to bylo zřejmé. Tady jsme ji sečetli dvakrát, zápornou trojku jsme sečetli dvakrát. A nyní, když máme zápornou dvojku, budeme dvakrát odečítat zápornou trojku. Budeme tedy něco odečítat a znovu budeme něco odečítat, a to něco bude naše záporná trojka. Je to naše záporná trojka. Takže zápor, zápor a napíšeme tam trojku. A opět, odečítání záporného čísla je jako splácení dluhu, což je to samé, jako kdybychom dostávali peníze. Je to to samé jako sčítání 3 plus 3, což je opět 6. Nyní se jako starověký filosof cítíte celkem dobře, nejen že jste zůstali v souladu s celou matematikou, kterou už znáte, distributivita platí i u násobení něčeho něčím, to vše už víte. A nyní už to také dává větší smysl. Vše je v souladu s vašimi původními poznatky o násobení, respektive s jedním z nich: jde o opakované sčítání.
video