Řešení logaritmů

Čeká nás vyhodnocování záludnějších logaritmů. Na začátek jen pro připomenutí. Logaritmus čísla 8 o základu 2 je 3, protože dvě na třetí je 8. Výsledkem logaritmu je vždy exponent. Podíváme se na několik záludnějších příkladů. Doporučuji si video vždy zastavit a zkusit si výsledek rozmyslet samostatně. Začneme logaritmem čísla 2 o základu 8. Výsledek si označíme jako x a zápis tak můžeme přepsat pomocí rovnice 8 na x je 2. Ptáme se tedy 8 na kolikátou je 2? Jak pomocí mocniny z čísla 8 udělat číslo 2? Jistě to umíme pomocí odmocniny, víme, že třetí odmocnina z 8 je 2. Nyní už jen stačí odmocninu přepsat jako mocninu. A to už také známe třetí odmocnina je jako umocňování na 1 třetinu, tedy 8 na 1/3 je 2. Proto hledané x je 1 třetina a stejně tak logaritmus čísla 2 o základu 8 je také 1 třetina. Pojďme na další příklad. Tentokrát vypočítáme logaritmus o základu 2 čísla 1 osmina. Opět doporučuji video zastavit a zkusit si výsledek rozmyslet samostatně. Ptáme se 2 na kolikátou je 1 osmina. Logaritmus opět můžeme přepsat pomocí rovnice 2 na x je 1 osmina. Víme, že 2 na třetí je 8. Ale my bychom potřebovali výsledek převrátit, dosáhnout inverzní hodnoty 1 osminy. Toho dosáhneme opačným znaménkem exponentu. Tedy 2 na minus třetí je 1 osmina, proto x je minus 3 a stejně tak výsledek logaritmu je minus 3. Pojďme na další příklad. Opět doporučuji vyřešit si ho samostatně. Vypočítáme logaritmus čísla 1 polovina o základu 8. Opět se ptáme: 8 na kolikátou je 1 polovina? Již víme, že 8 na 1 třetinu je 2. Z předchozího příkladu víme, jak dosáhnout 1 poloviny, a to sice minusem v exponentu. Tedy osm na minus 1 třetinu je 1 polovina. Proto x je minus 1 třetina a také výsledek logaritmu je minus 1 třetina. A je před námi poslední příklad, na který budeme potřebovat trochu více místa. Opět si ho zkuste nejprve vyřešit samostatně. Budeme počítat hodnotu logaritmu o základu 8 čísla 4. Ptáme se tedy: 8 na kolikátou je 4? Na první pohled to vypadá velice jednoduše, ale 4 není ani druhá ani třetí odmocnina, ani žádná jiná odmocnina z 8. Budeme tedy muset postupovat trochu složitěji. Nejprve si uvědomíme, že číslo 4 umíme získat jako výsledek druhé mocniny 2, tedy 2 na druhou. A dále číslo 2 umíme získat jako výsledek mocniny 8, tedy 8 na 1 třetinu je 2 a 2 na druhou je 4. Dáme to dohromady. Provedeme substituci, kdy místo 2 zapíšeme 8 na 1 třetinu, a dostáváme tak 8 na 1 třetinu, to celé na druhou. Víme, že při takovémto skládání mocnin se exponenty násobí. Dostáváme tak 8 na 1 třetinu krát 2. 1 třetina krát 2 jsou 2 třetiny a tedy 8 na 2 třetiny. Z druhé strany rovnice vidíme, že toto je rovno 4 a tedy náš hledaný exponent x je 2 třetiny. A to je i výsledek logaritmu.