Zjednodušování logaritmických výrazů: příklad s více úpravami

Společně vyřešíme složitější příklad na úpravu logaritmu. Nejprve vidíme, že máme v logaritmu zlomek. Bude se nám tedy hodit vzorec, který právě se zlomkem v logaritmu pracuje. Platí, že logaritmus podílů je rozdíl logaritmů. Tedy logaritmus čitatele minus logaritmus jmenovatele. Tak jako všechny vzorce s logaritmem i tento má své podmínky a tedy všechna čísla a, b a c musí být kladná. To zkontrolujeme, základ logaritmu je 5, ten je kladný. Čitatel je 25 na x-tou, ať už je x jakékoli, tak 25 na x-tou je také kladné a jediný problém je tedy ve jmenovateli, kde máme 5y. Aby tento výraz byl kladný, musí y být kladný. Nyní již můžeme výraz upravit podle vzorce. Dostáváme tak logaritmus o základu 5 čitatele, tedy 25 na x-tou minus logaritmus opět o základu 5 jmenovatele. To je 5y. Dále budeme upravovat první logaritmus. Hodil by se nám tedy vzorec, který umí upravit mocninu v logaritmu. Takový máme, pokud máme v logaritmu mocninu, můžeme exponent přesunout před logaritmus do součinu. Dostáváme tak takovýto vzorec a pro něj také platí podmínky trochu mírnější. Stačí, když a a c jsou kladná. To zde platí, a je 5, c je 25. A my tak můžeme výraz přepsat jako x krát logaritmus o základu 5 čísla 25. Zbytek opíšeme. Tedy minus logaritmus o základu 5 výrazu 5y. I tento druhý logaritmus můžeme zjednodušit. Bude se nám k tomu hodit vzorec pro logaritmus součinu. Pokud máme v logaritmu součin, například b krát c, můžeme ho přepsat jako součet logaritmů, tedy logaritmus b plus logaritmus c. Všechny logaritmy samozřejmě mají stejný základ. A i tento vzorec má podmínky: a, b a c musí být kladná čísla. Číslo 5 je kladné a kladnost čísla y jsme si zajistili již podmínkou na začátku. Můžeme tedy vzorec použít. Všimněme si ještě, že u prvního logaritmu umíme určit výsledek. Logaritmus o základu 5 čísla 25 je 2, protože 5 na druhou je 25. Dostáváme tak následující výraz x krát 2. To je výsledek logaritmu. Minus a tady raději použijeme závorku, protože minus je před celým logaritmem. V závorce máme logaritmus o základu 5 čísla 5 plus logaritmus o základu 5 čísla y. Zde můžeme ještě zjednodušit první logaritmus, protože 5 na prvou je 5. Proto hodnota logaritmu je 1 a dostáváme tak 2x, nyní už se můžeme zbavit hranaté závorky, obrátíme znaménka uvnitř. To znamená minus jedna minus logaritmus o základu 5 čísla y. Tento logaritmus už zjednodušit nelze. A ještě nesmíme zapomenout přepsat podmínku, že y je větší než 0.