Násobení logaritmů a změna základu logaritmu

Navážeme na předchozí video a podíváme se na další 2 užitečné vzorce pro práci s logaritmy. První vzorec se týká násobení logaritmů. Vezmeme si obecně b krát logaritmus o základu a čísla c. To se rovná logaritmu o základu a čísla c na b. Znamená to tedy, že mocninu logaritmu můžeme vytýkat před něj a naopak. Stejně jako minule nebudeme vzorce dokazovat, ale budeme jej ilustrovat na konkrétním příkladu. Uvažujme tento příklad 3 krát logaritmus o základu 2 z čísla 16. Podle vzorce by to mělo být totéž jako logaritmus o základu 2 čísla 16 na třetí. Pojďme obě strany vyhodnotit. Logaritmus o základu 2 čísla 16 je 4, protože 2 na čtvrtou je 16. Ještě násobíme 3 a dostáváme tak 12. Na druhé straně nejprve zjednodušíme argument: 16 na třetí je 4096. No a tento logaritmus je také 12, protože 2 na dvanáctou je 4096. Rovnost tedy platí, pro tento konkrétní příklad jsme vzorec ověřili. Podíváme se na komplikovanější příklad, ve kterém se nám bude hodit více vzorců. Tak si je nejprve připomeneme. První jsme měli vzorec pro sčítání logaritmů. Označíme si ho jedničkou. Říká, že pokud máme součet logaritmu o stejném základu, můžeme dát jejich argumenty dohromady a sice jako součin. Druhý vzorec je velmi podobný a řeší nám situaci, kdy do logaritmy od sebe odečítáme, tedy logaritmus b minus logaritmus c. Opět je důležité, aby logaritmy měly stejný základ. V tomto případě ho označujeme písmenem a. Tentokrát dostáváme podíl argumentů, nikoliv součin. A třetí vzorec jsme si ukázali nyní. Ten se týká umocňování a má tvar b krát logaritmus o základu a z c je totéž či rovno logaritmu o základu a čísla c na b. U tohoto posledního vzorce jsme ještě zapomněli uvést podmínky platnosti. To by byla velká chyba. V tomto případě stačí, když jsou kladná čísla a a c, a naopak číslo b může být kladné, záporné i nulové. Udělejme si trochu více místa, ať se nám sem vejde složitější příklad. Ten vypadá následovně: Máme vypočítat logaritmus o základu 2 čísla 32 lomeno odmocnina z 8, a to celé ještě pod odmocninou. Nejprve se budeme chtít zbavit odmocniny a budeme k tomu chtít použít vzoreček číslo 3. Tedy musíme si odmocninu zapsat jako mocninu, což umíme. Druhá odmocnina je jako mocnina s exponent 1 polovina. Přepíšeme tedy výraz takto. A nyní můžeme použít vzorec číslo 3. Použijeme ho v opačném směru, zprava doleva, kdy nyní máme mocninu v logaritmu a chceme jí vytknout před logaritmus. Tedy 1 polovina se nám dostává před logaritmus. A získáme 1 polovina krát logaritmus o základu 2 čísla 32 lomeno odmocnina z 8. Nyní se nám bude hodit vzorec číslo 2, protože ten nás zbaví zlomku v logaritmu. Opět ho budeme používat zprava doleva a dostáváme tak 1 polovina, ta zůstává a dostává se před závorku, a logaritmus se nám rozloží na rozdíl logaritmu 32 minus logaritmu odmocniny z 8. Nyní můžeme vyhodnotit první logaritmus. 2 na pátou je 32. Proto hodnota prvního logaritmu je 5. Ke zjednodušení druhého logaritmu opět využijeme vzoreček 3 a stejně jako v minulém případě se nám dostává 1 polovina před logaritmus. Dostáváme tak výraz 1 polovina krát závorka 5, to je hodnota prvního logaritmu, minus 1 polovina krát logaritmus 8. Vidím, že jsem zapomněl přepisovat základy logaritmů, což je chyba, tak ji hned napravíme. Všude máme logaritmy o základu 2. Kdybychom neměli stejné základy, vůbec bychom nemohli tyto vzorce používat. Chyba v zápise je pryč a tak se můžeme vrhnout na vyhodnocení zbývajícího logaritmu. 2 na třetí je 8. Proto hodnota druhého logaritmu je 3. Výraz si přepíšeme. 1 polovina krát závorka 5 zůstává a nyní minus 1 polovina krát 3, což je hodnota logaritmu. V závorce upravíme součin 1 polovina krát 3 to jsou 3 poloviny. Dostáváme tak 5 minus 3 poloviny. Nyní můžeme čísla odečíst, 5, to je 10 polovin. 10 bez 3 je 7 a dostáváme tak 1 polovina krát ze závorky 7/2. Při násobení zlomku násobíme čitatele spolu, jmenovatele spolu, 1 krát 7 je 7 a 2 krát 2 jsou 4. Výsledek je tak 7 čtvrtin. Nyní se podíváme na poslední slibovaný vzorec, který je ale asi nejpoužívanější. Představme si následující příklad: logaritmus o základu 17 čísla 357. Z hlavy to asi nespočítáme, nebude to ani celé číslo. Vezmeme si proto na pomoc kalkulačku, ale zjistíme, že na většině běžných kalkulaček nenajdeme potřebné tlačítko. Máme tam dvě tlačítka. První je log které slouží k výpočtu logaritmu o základu 10 a druhé je ln, které slouží k výpočtu přirozeného logaritmu. Ten má základ e, ale žádné tlačítko pro výpočet logaritmu o základu 17. Naštěstí existuje vzorec, který nám umožní změnit základ logaritmu. Vypadá následovně: logaritmus o základu a čísla b můžeme přepsat jako logaritmus o základu c čísla b lomeno logaritmus o základu c čísla a. A klíč je v tom, že my si můžeme vybrat číslo c, jak chceme. Tedy musí být kladné, stejně jako všechna ostatní čísla v tomto vzorci. Podívejme se na náš příklad. Logaritmus o základu 17 čísla 357. Přepíšeme ho třeba pomocí logaritmu o základu 10 tedy log 357 lomeno log 17. U logaritmu o základu 10 nemusíme základ uvádět automaticky se tím rozumí základ 10. Tento logaritmus už na kalkulačce máme a taky jenom stačí tento zlomek přepsat do kalkulačky s využitím tlačítka log, a zjistíme, že výsledek je 2,075. Je to samozřejmě přibližný výsledek. Proto nezapomeneme značku pro zaokrouhlení. Ke stejnému výsledku bychom měli dojít, ať už použijeme jakýkoliv základ logaritmu. Zkusíme tedy ještě to samé s přirozeným logaritmem. Opět použijeme kalkulačku a prepíšeme zlomek ln 357 lomeno ln 17. A vidíme, že jsme dospěli ke stejnému výsledku, což odpovídá vzorci. A zdá se tedy, že vše dobře funguje.