Sčítání a odčítání logaritmů

Při práci s logaritmy se nám může hodit několik vzorců. První 2 si ukážeme v tomto videu. Nejprve připomeňme, že logaritmus je vlastně jenom jiný zápis exponenciální rovnice a na x-tou se rovná y. Totéž můžeme zapsat jako logaritmus o základu a čísla y je rovno x. V prvním případě umocňujeme základ a na x-tou a výsledkem je mocnina y. Logaritmus naopak na základě mocniny, tedy výsledku mocnění a základu, vypočítá správný exponent. Pojďme se podívat na první vzorec, který zjednodušuje sčítání logaritmu. Pokud máme 2 logaritmy, oba o stejném základu, tedy logaritmus o základu a z čísla b a logaritmus o stejném základu a z čísla c, sčítáme je, tak můžeme vše přepsat jako 1 logaritmus o základu a ze součinu čísel b a c. V tomto videu budeme vzorce jen ilustrovat na příkladech. Pokud vás zajímá přesné odvození, najdete je ve speciálním videu. Ukažme si tedy tento vzorec na příkladu, kdy máme logaritmus o základu 2 čísla 8 plus logaritmus o základu 2 čísla 32. Podle vzorce by se to mělo rovnat logaritmu o základu 2 čísla 8 krát 32. Stále připomínám, je důležité mít stejný základ u logaritmu. První logaritmus o základu 2 čísla 8 je 3, protože 2 na třetí je 8. Druhý logaritmus o základu 2 čísla 32 je 5, protože 2 na pátou je 32. Před výpočtem třetího logaritmu si zjednodušíme jeho argument. 8 krát 32 je 256. Počítáme tedy logaritmus o základu 2 čísla 256. Což je 8, protože 2 na osmou je 256. Vidíme, že 3 + 5 je skutečně 8 a tedy platí rovnost těchto logaritmů podle vzorce. Samozřejmě to není důkaz, ověřili jsme pouze vzorec pro jeden konkrétní příklad. Ale pro ilustraci nám to stačí. Pokud byste chtěli pátrat po odvození na vlastní pěst, pak dobrým startovacím bodem je vzorec pro násobení mocnin, kdy například 2 na třetí krát 2 na pátou je 2 na tři plus pátou, což je 2 na osmou. I z tohoto vztahu mezi násobením a sčítáním vychází tento vzorec pro logaritmy. A konečně nesmíme zapomenout na podmínky platnosti tohoto vzorce. Vzorec platí pouze pokud všechny vstupující parametry a, b, c jsou kladné. Základ logaritmu a ani nemůže být záporný a proto ani do logaritmů nemůžeme dosazovat záporná čísla, protože když umocňuje kladné číslo a, pak výsledek mocniny je vždy kladný. Pojďme se podívat na druhý vzorec, který nám pomůže při odečítání logaritmů. Stejně jako v minulém případě budeme pracovat s logaritmy o stejném základu tedy logaritmus o základu a čísla b a logaritmus o základu a čísla c, ale budeme je odečítat. V takovém případě můžeme výraz zjednodušit jako logaritmus o základu a podílů čísel b a c. Použití vzorce si opět ukážeme na příkladu. Vezmeme si logaritmus o základu 3 čísla 729 minus logaritmus o základu zase 3, tak to musí být, čísla 9. Podle vzorce by se to mělo rovnat logaritmu o základu 3 čísla 729 lomeno 9. Pojďme logaritmy vyhodnotit. První logaritmus je roven 6, protože 3 na šestou je 729. Druhý logaritmus je jednodušší. Ten se rovná dvěma, protože 3 na druhou je 9. Třetí logaritmus opět nejprve zjednoduším 729 dělené 9. To je 81. No a tento logaritmus má hodnotu 4, protože 3 na čtvrtou je 81. Vidíme, že 6 minus 2 je skutečně 4, jak vzorec požaduje, a tedy platí pro tento konkrétní příklad s logaritmy. Pokud byste se opět chtěli pídit po odvození, pak je dobrým startovacím bodem vzorec pro podíl mocnin, kdy 3 na šestou lomeno 3 na druhou je 3 na 6 méně 2, což je 3 na čtvrtou. Analogicky je zde vztah mezi odečítáním a dělením, ze kterého tento vzorec pro logaritmy vychází. Stejně tak jako v minulém případě nesmíme zapomenout na podmínky, za kterých vzorec platí. A opět všechny vstupující parametry, základy logaritmů, jejich argumenty musí být kladná čísla.