Co je to definiční obor funkce?

Dnes si řekneme něco o tom, co je to definiční obor funkce. Než ale začneme s definičním oborem, pojďme si jen krátce zopakovat, co je to funkce. Funkce nám vezme nějaký vstup, ten nějak zpracuje a dá nám nějaký výstup. Kdybychom si to chtěli ukázat zjednodušeně graficky, tak vezmeme například nějaké x, to vložíme do naší funkce, které můžeme třeba tradičně říkat f a ta nám to nějak zpracuje a dám na výstupu f v bodě x. Nějakou hodnotu výstupní. Kdybychom měli třeba nějakou konkrétní funkci, dejme tomu funkci f(x) = 2/x, tak už bychom asi věděli co s tím. Kdybychom třeba chtěli dát té funkci na vstupu 3. Kdybychom chtěli dát funkci na vstupu trojku, tak bychom ji vložili do té naší krabičky funkce a funkce by nám na výstupu dala f v bodě 3, což by podle tohoto zadání funkce bylo 2/3 tedy dvě třetiny. Pro nějaký vstup jsme dostali výstup definovaný zadáním té funkce. Kdybychom chtěli vložit třeba π, tak postupujeme obdobně, opět na výstupu dostaneme f v bodě π a tedy podle zadání funkce 2/π. To už umíme. Zajímavá situace by ale nastala, kdybychom se pokusili té funkci dát na vstupu 0. Dali bychom to naší funkci a ta by nám na výstupu měla dát f v bodě 0. Ale co bychom tady vlastně dostali? Podle zadání funkce bychom měli doplnit hodnotu 2 děleno 0 ale nulou, jak víme, přece dělit nelze. My nevíme, jaký by byl výsledek tady tohoto. To je nedefinovaný výraz. Takže tady máme nějaký nedefinovaný výstup. Kdybychom vložili do té funkce 0, tak nemáme pro tento vstup definovaný výstup. Takže ve zkratce jednoduše řečeno 0 do té funkce vložit nemůžeme. Teď už se dostáváme k tomu, co je ten definiční obor funkce. Definiční obor funkce je tedy množina všech vstupů, pro které je daná funkce definovaná. Také bychom to mohli ještě přeformulovat tak, že to je množina všech vstupů, pro které má ta funkce definované výstupy. Takže na základě toho my vidíme, že toto je vstup, pro který ta funkce nemá definovaný výstup. Takže pro tento vstup ta funkce není definovaná. Tudíž tedy 0 nebude patřit do definičního oboru funkce. Budou tam tedy patřit všechna reálná čísla kromě 0. Jak bychom tuto informaci zapsali matematicky? Začneme takto, toto je složená závorka, kterou používáme pro označení množiny a řekli bychom, že to mají být všechna reálná čísla, tedy x je prvkem množiny reálných čísel. Ty zaznačíme takto a budou to taková x, tady si uděláme takovou svislou čáru, že x se nebude rovnat 0. Takže budou to všechna reálná čísla taková, že se nebudou rovnat 0 tedy všechna čísla reálná kromě nuly. Takže to je definiční obor této funkce f(x). Pojďme si ukázat nějaký další příklad. Abychom viděli, že to nemusí být vždycky f a x, tak si můžeme dát třeba funkci g(y), která bude definovaná následovně: bude to odmocnina z (y - 6). Jaký bude tady definiční obor. Jaké tady máme povolené vstupy do funkce. Opět to bude tak jako v tomto případě. My vezmeme na vstup y vložíme ho do naší funkce g a na výstupu dostaneme g(y). Vidím,e že tady máme něco pod odmocninou a my víme, že pokud se pohybujeme v reálných číslech, tak musíme mít pod odmocninou vždy pouze nezáporné hodnoty, protože odmocnit záporné hodnoty my v reálných číslech neumíme. Takže my víme, že y - 6 musí být větší nebo rovno 0. Nulu odmocnit umíme. Když přičteme 6 k oboum stranám, dostaneme, že y musí být větší nebo rovno 6. A teď už to jenom přetavit do toho hezkého matematického zápisu. Definiční obor této funkce, můžeme si to napsat, ať víme, co my tu vlastně počítáme. Definiční obor bude opět: množinovou závorku složenou {} Budou to tedy všechna reálná čísla. Opět, y náleží do množiny reálných čísel a budou to taková y, y bude větší nebo rovno šesti. Takhle jsme si krásně zapsali definiční obor funkce g(y). My jsme zvyklí, že ty funkce máme většinou definované nějak takto. Ale funkce může být definovaná i úplně jinak, nějakým trošku zvláštním způsobem. Třeba bychom mohli mít funkci h(x), která je definovaná takto. h(x) se bude rovnat 1 pro x = π. A h(x) se bude rovnat 0 pro x = 3. Jaký bude tedy definiční obor? Zkuste si to zastavit to video a popřemýšlet nad tím. Jaký tedy bude ten definiční obor? My tady vlastně máme jenom 2 povolené vstupy. My víme, že h v bodě π bude rovno 1. A že h v bodě 3 bude rovno 0. No ale kdybychom třeba chtěli h v bodě 4 nebo h v bodě -1? To my nevíme, co bychom dostali na výstupu, protože to nemáme nadefinované. Definiční obor je množina všech vstupů, pro které je funkce definovaná. Takže ani pro 4 ani pro -1 tato funkce definovaná není. Definiční obor této funkce bude vlastně úplně jednoduchý. Bude totiž obsahovat pouze dvě hodnoty. A to 3 a π. To je celý definiční obor této funkce h(x). Doufám, že už jste pochopili, proč se zabýváme tím definiční oborem. Ne všechny funkce totiž mají jako definiční obor množinu všech reálných čísel. Často tam najdeme nějaká omezení, nějaké výjimky, pro které to neplatí. Popřípadě omezení nějakým intervalem. Nebo máme jenom definiční obor v nezáporných číslech, v záporných číslech atd. To už si budeme ukazovat v dalších videích. Dnes je důležité, abyste se naučili, co je vlastně ten definiční obor funkce a jak ho zvládneme najít u nějakých jednoduchých funkcí.