Funkce I
Funkce I (11/12) · 5:30

Lokální minima a maxima Funkce na svém definičním oboru mívají bod, který je výše, než ostatní, který nazýváme maximum. Bodu, který je naopak níže než všechny ostatní říkáme minimum.

Navazuje na Směrnice přímek a jejich grafy.
Před námi je graf funkce y rovná se f(x). Graf je na tomto intervalu, který vypadá, že je od 0 do nějaké kladné hodnoty. Chtěl bych se teď podívat na body maxima a minima. Už jsme trochu mluvili o globálních maximech a minimech na intervalu, které jsou zde poměrně zřejmé. Největší hodnotu y máme zde, úplně na začátku našeho intervalu, což vypadá jako bod x rovno 0. Toto je globální maximum na našem intervalu. Globální minimum na tomto intervalu nastává na jeho druhém konci. Pokud si tento bod označíme ‚a‘ a tenhle ‚b‘, tak globální minimum je f(b) a globální maximum je f(a), přičemž to vypadá, že ‚a‘ se rovná 0. Nejspíše si ale říkáte: „Hej, jsou tady i další zajímavé body.“ V tomto bodě sice hodnota není největší, nenabýváme... Hodnota v tomhle bodě rozhodně není největší hodnotou, kterou funkce na tomto intervalu nabývá, ale v porovnání s ostatními hodnotami okolo ní tvoří něco jako kopeček. Je větší než okolní hodnoty. Lokálně vypadá trochu jako maximum. Z toho důvodu tuhle hodnotu nazýváme… Tato hodnota... Řekněme, že zde je bod ‚c‘. Toto je ‚c‘, takže tady je f(c). f(c) nazýváme lokálním maximem. Říkáme lokální, protože je jasné, že funkce jinde nabývá větších hodnot, ale pro body x poblíž ‚c‘ platí, že f(c) je větší než hodnota v kterémkoliv z nich. Obdobně... Tohle slovo nikdy nedokážu pořádně vyslovit. ...obdobně, pokud si tento bod označíme jako ‚d‘, tak f(d) vypadá jako lokální minimum. f(d) je lokální minimum neboli hodnota lokálního minima. Na celém intervalu opět rozhodně najdeme body, v nichž je funkční hodnota menší, známe dokonce globální minimum na tomto intervalu, které nastává v bodě x rovno ‚b‘. Toto je však lokální minimum, protože je menší než… Podíváme-li se na body x okolo ‚d‘, funkce má v těchto bodech větší hodnotu, než jaká je její hodnota v bodě ‚d‘. Zamysleme se tedy... Je sice hezké, když řeknu, že lokální maximum nastane v tom bodě, v němž je funkční hodnota větší než její hodnoty ve všech bodech okolo, a že minimum nastává, pokud je funkční hodnota v daném bodě menší než ve všech bodech okolo, ale jak to zapsat matematicky? Nyní vám napíšu definici, což je jen formální způsob, jak říct to, co jsme právě řekli. Řekneme, že f(c) je lokální maximum, pokud je f(c) větší nebo rovno než f(x), a to pro všechna x, která… Mohli bychom tak nějak obyčejně napsat: „Pro všechna x blízko ‚c‘.“ Tak bychom to mohli zapsat. To ale není zrovna přesné, protože co to přesně znamená být blízko ‚c‘? Přesněji to vyjádříme takto: Pro všechna x z otevřeného intervalu (c minus h; c plus h), kde ‚h‘ je větší než nula. Dává to smysl? Podívejme se na to. Vytvořme si otevřený interval… Vypadá to, že pro všechny hodnoty x v… Stačí najít jeden otevřený interval. Může existovat mnoho otevřených intervalů, kde to platí. Když vytvoříme otevřený interval, který vypadá nějak takto… Tato hodnota je (c plus h) a tato hodnota je (c minus h). Vidíte, že na tomto intervalu je hodnota funkce v bodě ‚c‘, tedy f(c), určitě větší nebo rovna hodnotě funkce v jakémkoliv jiném bodě tohoto intervalu. Asi už víte... Zastavte si video a zkuste si napsat, jak by vypadala formální definice lokálního minima. Napsali bychom… Řekněme, že ‚d‘ je bod lokálního minima. Řekneme, že f(d) je lokální minimum, pokud je f(d) menší nebo rovno f(x), a to pro všechna x z otevřeného intervalu (d minus h; d plus h), kde ‚h‘ je větší než nula. Takový interval zde dokážeme najít. Řekněme, že tohle je (d plus h) a tohle (d minus h). Funkce na tomto intervalu, f(d), bude vždy menší nebo rovno než hodnota v libovolném jiném bodě, než hodnoty funkce f ve všech ostatních bodech x v tomto intervalu. Proto říkáme, že je to lokální minimum. V běžné řeči jde o lokální maximum tehdy, když funkce nabývá větší hodnotu v ‚c‘ než v bodech x okolo ‚c', a o lokální minimum jde tehdy, když funkce nabývá menší hodnotu v ‚d‘ než v bodech x okolo ‚d'.
video