Funkce I
Přihlásit se
Funkce I (11/12) · 5:30

Lokální minima a maxima Funkce na svém definičním oboru mívají bod, který je výše, než ostatní, který nazýváme maximum. Bodu, který je naopak níže než všechny ostatní říkáme minimum.

Navazuje na Směrnice přímek a jejich grafy.
Před námi je graf funkce 'y' je rovno f(x). Graf je na tomto intervalu, který vypadá, že je od 0 do nějaké kladné hodnoty. Chtěl bych se zamyslet nad body maxima a minima tohoto grafu. Už jsme trochu mluvili o globálních maximech a globálních minimech na intervalu, ty jsou jednoznačné. Nejvyšší hodnotu 'y' máme zde, úplně na začátku našeho intervalu, což je v 'x' rovno 0. To je bod globálního maxima na tomto intervalu. Globální minimum na tomto intervalu nastává na druhém konci. Zde máme 'a', zde je 'b', globální minimum je f(b) a globální maximum je f(a). Vypadá to, že se 'a' rovná 0. Nejspíše si ale říkáte: „Hej, tady jsou i další zajímavé body. Tento bod tady sice není největší, nezabýváme se touto hodnotou, která rozhodně není nejvyšší hodnotou… Rozhodně není tou největší hodnotou, které funkce na tomto intervalu nabývá. Ale v porovnání s ostatními hodnotami okolo ní tvoří něco jako kopeček, je větší, než okolní hodnoty. Lokálně vypadá trochu jako maximum. Proto je tato hodnota zde nazývána… Řekněme, že tato hodnota zde je 'c'… Toto je 'c', takže toto je f(c)… …je nazývána… f(c) je lokální maximum. Lokální maximum. Říkám lokální, protože je jasné, že funkce nabývá vyšších hodnot, ale pro hodnoty 'x' poblíž 'c' je f(c) největší z hodnot ostatních bodů. Obdobně, nazveme-li tento bod 'd', f(d) vypadá jako lokální minimum. f(d) je lokální minimum nebo hodnota lokálního minima. Opět, v celém intervalu máme rozhodně i body s nižší hodnotou, známe globální minimum v tomto intervalu, nastává, když se 'x' rovná 'b'. Toto je však lokální minimum, protože je nižší, než… Podíváme-li se na hodnoty 'x' okolo 'd', funkce má v těchto bodech vyšší hodnotu, než je v bodě 'd'. Zamysleme se… Je pro mě snadné říct: „Jste tedy v bodě lokálního maxima, pokud má v tom bodě funkce vyšší hodnotu, než jsou hodnoty v bodech okolo ní. V bodě minima, má-li funkce nižší hodnotu, než jsou hodnoty v bodech okolo. Jak bychom to zapsali matematicky? Dám vám tedy definici, to je formálnější způsob, jak říct, co jsme právě řekli. Řekneme tedy, že f(c) je lokální maximum, je-li f(c) je větší nebo rovno f(x), pro všechna 'x', která… Mohli bychom tak obyčejně říct: pro všechna 'x' poblíž 'c'. Můžeme to zapsat takto. To není rigorózní, protože co vlastně znamená „být poblíž 'c'“? Rigorózní způsob, jak to vyjádřit je: Pro všechna 'x' z otevřeného intervalu ('c minus h' , 'c plus h') kde 'h' je větší než nula. Dává to smysl? Podívejme se na to. Vytvořme si otevřený interval… Vypadá to, že pro všechny hodnoty 'x' v… Stačí najít jediný interval. Může existovat mnoho intervalů, kde to platí, vytvoříme-li však otevřený interval, který vypadá nějak takto… Tato hodnota je 'c plus h' a tato hodnota je 'c minus h', a vidíte, že na tomto intervalu je funkce v bodě 'c', f(c) je určitě větší nebo rovna hodnotě funkce v jakékoliv jiné části intervalu. Pozastavte si video a zkuste si napsat, jak by vypadal formální zápis bodu lokálního minima. Napsali bychom… Vezměme si 'd' jako bo lokálního minima. Můžeme říct, že f(d) je lokální minimum, pokud je f(d) menší nebo rovno f(x), pro všechna 'x' z otevřeného intervalu ('d minus h' , 'd plus h'), pro 'h' větší než nula. Dokážete tedy najít interval. Řekněme, že tohle je 'd plus h' a tohle 'd minus h'. Funkce na tomto intervalu… f(d) bude vždy menší nebo rovna hodnotám v libovolných bodech, hodnotám všech ostatních 'x' na tomto intervalu. Proto říkáme, že je to lokální minimum. V běžné řeči je to lokální maximum, nabývá-li funkce vyšší hodnoty v 'c', než v hodnotách 'x' okolo 'c'. Jste na lokálním minimu, nabývá-li funkce nižší hodnoty v 'd', než v 'x' okolo 'd'.
video