Funkce I
Přihlásit se
Funkce I (12/12) · 5:56

Vlastnosti funkce - monotonie V tomto videu si rozebereme funkci. Určíme, na kterých intervalech má kladné funkční hodnoty a na kterých záporné. Zároveň určíme, na kterých intervalech je klesající a na kterých rostoucí.

Navazuje na Směrnice přímek a jejich grafy.
V tomto videu se chci zaměřit na tento graf 'y' se rovná 'f(x)' a podívat se na intervaly, kde je tento graf kladný nebo záporný. A potom se podívat na intervaly, kde je tento graf rostoucí nebo klesající. Prvně si řekněme, kdy je tato funkce… Kdy je tato funkce kladná? Kladná znamená, že hodnota funkce je vyšší než 0. To znamená, že hodnota funkce, že se funkce nachází nad osou 'x'. Nachází se tedy nad osou 'x'… Tato oblast, kterou zvýrazňuji žlutě… Nad osou 'x' se také nachází tato část grafu. Kdybychom chtěli… Kdybychom chtěli tyto intervaly zapsat matematicky… Řekněme, že tento bod na ose 'x' je roven hodnotě 'a'… Řekněme, že tento bod na ose 'x' je roven hodnotě 'b'... A tento bod je roven hodnotě 'c'. Pak je funkce kladná… Funkce je kladná, je-li 'x' mezi hodnotami 'a' a 'b'. V bodech 'a' a 'b' se hodnota funkce rovná nule. Ale funkce je kladná, pokud je hodnota 'x' mezi 'a' a 'b', nebo pokud je 'x' větší než 'c'. Lze to zapsat takto, 'c' je menší než 'x'. Nebo můžeme zapsat, že 'x' je větší než 'c'. Toto jsou intervaly, na kterých je funkce kladná. Funkce 'x' je kladná, když je 'x' z tohoto intervalu, nebo z tohoto. Takže, kdy je funkce f(x) záporná? Použiji jinou barvu. Funkce f(x) bude záporná… No, bude záporná, pokud je 'x' menší než 'a'. Takže, pokud je 'x' menší než 'a', nebo pokud je 'x' mezi 'b' a 'c'. Potom vidíme, že se funkce f(x) nachází pod osou 'x'. Funkce f(x) je tady dole. Tohle je, kde je funkce záporná. Nebo pokud je hodnota 'x' mezi 'b' a 'c'. Hodnota 'x' je mezi hodnotami 'b' a 'c'. Neříkám, že je hodnota nižší nebo rovna, protože v bodech 'b' a 'c' je hodnota f(b) rovna 0 i f(c) rovna 0. Body 'b' a 'c' jsou místa, kde funkce protíná osu 'x'. To bylo docela přímočaré. Teď se zaměříme na jinou otázku. Kdy je funkce klesající a kdy rostoucí? Takže kdy je funkce f(x) rostoucí? Tedy rostoucí, to je, pokud když stoupá hodnota 'x', roste i hodnota 'y'. Další způsob, jak zjistit, zda je funkce rostoucí… Máme-li kladný poměr změny hodnoty 'y' v závislosti na 'x'. Můžeme si tedy představit, že bychom měli tečnu v kterémkoliv z těchto bodů, sklon této tečny bude kladný. Pro mě je nejjednodušší říct si, že roste-li hodnota 'x', roste i 'y'. Kde je tedy funkce rostoucí? Zakresluji to modře. Funkce roste až do tohoto bodu. Než se dostane sem… Pak funkce začne klesat a klesá až po tento bod. Pak začne znovu růst. Začne znovu růst… Udělám tady na grafu další značky… Řekněme, že v tomto bodě je 'x' rovno 'd'. Použiji raději tu zelenou barvu. Takže tady se 'x' rovná 'd'. No, teď je to 'a', 'd', 'b', ale víte, co chci říct. Řekněme, že zde se 'x' rovná 'e'. Kdy je tedy tato funkce rostoucí? Je rostoucí, pokud je 'x' menší než 'd'. 'x' je menší než 'd'… Nebudu říkat menší nebo rovna, protože v bodě 'd' to vypadá… V bodě 'd' by byla tečna rovnoběžná s osou 'x', konstantní. Funkce se mění z rostoucí na klesající. V bodě 'd' se nejedná ani o rostoucí ani o klesající funkci. Opět rostoucí je funkce… Pokud je 'f(x)' menší než 'd' nebo větší než 'e'. …nebo když 'x' je větší než 'e'. Kde je 'f(x)' klesající? Takže 'f(x)'… Použiji jinou barvu… Kdy je… Vyberu si… 'f(x)' je klesající… To bude přesně tady... To bude mezi 'd' a 'e'. Mezi 'x' se rovná 'd' a 'x' se rovná 'e'. Ale ne přesně v těch bodech, protože v obou z nich není funkce ani klesající ani rostoucí. Zde vidíte, že když 'x' roste… Když hodnota 'x' stoupá, co se děje s hodnotou 'y'? Když v tomto bodě zvýšíte hodnotu 'x', co se stane s 'y'? Hodnota 'y' klesla. Zvýšíte-li hodnotu 'x', hodnota 'y' klesá. Hodnota 'x' se zvyšuje a hodnota 'y' klesá až do tohoto bodu. Funkce f(x) je tedy klesající pro hodnoty 'x' mezi 'd' a 'e'. Tak doufám, že to chápete. Všimněte si, ty intervaly nejsou stejné. Intervaly, kde je funkce kladná nebo záporná, nejsou stejné jako ty, kde je funkce klesající nebo vzrůstající. Je důležité tyto intervaly rozlišovat, i když se vám mohou zdát podobné.
video