Dělení komplexních čísel

Máme tady zadání: Vydělte 6 + 3i komplexním číslem 7 - 5i. Máme tady tedy dělení dvou komplexních čísel a jako výsledek bychom tedy chtěli logicky dostat opět komplexní číslo, které bude mít reálnou část a imaginární část. Zkuste si video zastavit a zkuste si to sami. Pokud Vás nic nenapadá, mám tady jeden návrh. Když dělíme, tak je to stejné, jako bychom tato dvě komplexní čísla zapsali do zlomku. A to 6 + 3i do čitatele a 7 - 5i do jmenovatele. Tohleto je stejné jako tady toto prvotní zadání. No, to je sice hezké, řeknete si, ale co s tím budeme dělat dál? Máme to ve zlomku, to nevypadá o moc líp než to zadání. Pojďme si vzpomenout na něco, co už jsme probírali v minulých videích, čemu říkáme komplexně sdružené číslo. Chtěli bychom se ideálně zbavit tady té imaginární jednotky ve jmenovateli, dostat tady reálné číslo. A my už víme, že když vynásobíme komplexní číslo číslem k němu komplexně sdruženým, tak dostaneme číslo reálné. Takže co kdybychom čitatele i jmenovatele vynásobili číslem komplexně sdruženým k tomu komplexnímu číslu ve jmenovateli. Potom bychom ve jmenovateli násobili komplexní číslo číslem k němu komplexně sdruženým a dostaneme číslo reálné. Takže komplexně sdružené číslo k tomuto je 7 + 5i, takže bychom mohli provést tuto úpravu. Jak už jsem řekla, tady z toho dole dostaneme reálné číslo a tady toto nahoře prostě roznásobíme. 7 + 5i lomeno 7 + 5i, to je jedna, takže to vlastně násobíme jedničkou, neměníme nijak hodnotu tohoto prvotního původního zlomku. Nahoře to jednoduše roznásobíme mezi sebou tak, jak jsme zvyklí. 6 krát 7 je 42, 6 krát +5i je 30i, 3i krát 7 je +21i, 3i krát 5i je 15i na druhou. To si napíšeme tady bokem, 15i na druhou. My víme, že i na druhou je -1, takže je to vlastně jako 15 krát -1 a tedy -15. Takže poslední člen tady je -15. Jak na tom bude jmenovatel? Mohli bychom si všimnout, že tady vlastně máme (a - b) krát (a + b), což nám potom dává rozdíl druhých mocnin, ale abychom si nemuseli pamatovat ten vzorec, můžeme si to zkusit roznásobit stejně jako nahoře. Takže 7 krát 7 je 49, 7 krát 5i je +35i, -5i krát 7 je -35i, -5i krát 5i je -25i na druhou. Opět si to tady napíšeme, jenom abyste viděli, jak jsme k tomu došli. -25i na druhou, i na druhou je -1, -25 krát -1 je +25. Takže tady poslední člen je +25. Výborně. Teď budu chtít udělat naši klasickou úpravu, tedy sečíst části reálné a potom části imaginární takto. Takže 42 minus 15 je 27, +30 plus 21 je 51i. A co bude v tom jmenovateli. +35i minus 35i, to se nám krásně vyruší. Zbyde nám 49 plus 25, což je 74. A už jsme skoro na konci. Jenom bych to ráda dostala do tvaru, v jakém normálně vídáme komplexní číslo, tedy a+bi. Takže to můžu přepsat jako 27/74 plus 51/74i. Jenom jsme si toto přepsali do trochu hezčího tvaru. Toto je náš výsledek. Komplexní číslo ve tvaru a+bi, které jsme dostali po vydělení tohoto komplexního čísla tímto. A upravili jsme to tak, že jsme použili číslo komplexně sdružené k tomu číslu ve jmenovateli a díky tomu se nám podařilo ve jmenovateli dostat reálné číslo a takto krásně to upravit.