Elektřina
Elektřina (9/13) · 10:19

Celkové elektrické pole několika nábojů ve dvou rozměrech Vyřešíme si příklad na určení velikosti i směr celkového elektrického pole tvořeného dvěma náboji v nějakém obecném bodě.

Zkusme něco těžkého. Tohle je klasika. Mějme dvojici nábojů, +8 a -8 nanocoulombů. Nebudeme se ptát na pole mezi nimi, což je vlastně jednorozměrná úloha, ale zkusíme určit elektrické pole v tomto bodě P. To je dvojrozměrná úloha. Chceme-li určit celkové elektrické pole tady nahoře, jeho velikost a směr, půjdeme na to zpočátku stejně. Řekneme si, že každý z nábojů vytvoří tady nahoře pole mířící určitým směrem. Tento kladný náboj vytvoří pole mířící směrem od něj, které vypadá nějak takto. Budu tomu poli říkat modré E, protože jej vytváří modrý kladný náboj. Tento záporný náboj vytváří své vlastní elektrické pole směřující do něj, které bude vypadat nějak takto. Nazvu jej žluté E, protože jej vytváří žlutý náboj. Až dosud vše při starém. Teď se věci začnou komplikovat. Tato pole ani nemíří stejným směrem. Leží v dvojrozměrné rovině a my chceme určit celkové elektrické pole. V těchto dvojrozměrných úlohách musíme elektrická pole rozložit na složky. Pole vytvořené tímto kladným nábojem bude mít vodorovnou složku mířící doprava. Budu jí říkat modré E_x, protože je to vodorovná složka vytvořená modrým kladným nábojem. Pole také bude mít svislou složku mířící vzhůru. Nazvu ji modré E_y. Podobně elektrické pole tohoto záporného náboje bude mít vodorovnou složku mířící doprava. Nazveme ji žluté E_x. Má také svislou složku, která ale míří dolů. Nazvu ji žluté E_y. Jak pomocí všech těchto složek určíme celkové elektrické pole? V těchto úlohách typicky určujeme složky pole v každém směru zvlášť. Rozdělíme problém na menší části. Ptáme se, jaká je vodorovná složka celkového elektrického pole a jaká je jeho svislá složka? Chceme-li teď znát velikost celkového pole, můžeme složky zkombinovat pomocí Pythagorovy věty, V této úloze máme štěstí. Je tu jistá dávka souměrnosti, která nám umožňuje ušetřit čas. Oba tyto náboje mají totiž stejnou velikost. A protože tento bod P leží přesně mezi nimi, vzdálenost od kladného náboje do bodu P bude stejná jako vzdálenost od záporného, takže oba tyto náboje vytvářejí v tomto místě pole stejné velikosti. Pole jen míří různými směry, což znamená, že tento kladný náboj vytvoří elektrické pole, které má určitou svisou složku mířící vzhůru. Nevíme, jak je velká, ale bude to kladné číslo, protože míří vzhůru. Tento záporný náboj vytvoří elektrické pole se svislou složkou mířící dolů, která bude záporná, ale bude mít stejnou velikost jako svislá složka modrého pole. Jinak řečeno, pole modrého náboje míří nahoru stejně jako žluté pole dolů. Když tyto dvě svislé složky sečtete, abyste určili svislou složku celkového elektrické pole, vyjde vám 0. Úplně se vyruší, což je fajn, protože se musíme starat jen o vodorovné složky. Ty se nevyruší. Jaktože ne? Protože obě míří doprava. Kdyby jedna mířila doprava a druhá doleva, pak by se vodorovné složky vyrušily, ale to se tady neděje. Tyto složky společně dávají složku ve směru x, která je větší než každá z nich zvlášť. Vlastně bude dvojnásobná, protože každý náboj tady vytváří ve směru x stejné množství elektrického pole, protože tato úloha je souměrná. Zjednodušili jsme úkol na hledání vodorovné složky celkového elektrického pole. K tomu potřebujeme vodorovné složky každého z těchto elektrických polí. Určím-li vodorovnou složku pole kladného náboje, půjde o kladný příspěvek celkovému elektrickému poli, protože tohle míří doprava a já to přičtu k vodorovné složce žlutého pole, protože to také míří doprava. Přestože náboj, který to pole vytváří, je záporný, vodorovná složka toho pole je kladná, protože míří doprava. Když ty dvě složky určím, prostě je sečtu a získám celkové elektrické pole ve směru x. A jak vypočítám tyto vodorovné složky? Abych určil vodorovnou složku tohoto modrého elektrického pole, musím nejprve určit velikost tohoto modrého elektrického pole. Ten vzoreček známe. Napíšu jej sem. Velikost elektrického pole je vždycky k krát Q ku r na druhou. Pro toto modré pole je E rovno 9 krát 10 na 9 a náboj je 8 nanocoulombů. Nano- znamená 10 na -9. Vydělíme r, ale kolik to v tomto případě je? Není to 4 ani 3. Pamatujte, r ve vzorečku elektrického pole je vždy od středu náboje k místu, kde elektrické pole měříte. Takže r je tohle. Tato vzdálenost je r. Jak ji vypočítáme? Máme štěstí, víte-li, že trojúhelník se strranami 3, 4 a 5 je pravoúhlý. Tahle strana je 3 metry a tahle strana 4. Tím pádem víme, že tato strana je 5 metrů. Pokud se vám to nelíbí, můžete to vzít Pythagorovou větou. Dle Pythagorovy věty se v pravoúhlém trojúhelníku 'a' na druhou plus 'b' na druhou rovná 'c' na druhou, což je přesně co tu máme. A je tato strana, 3. B je čtyřmetrová strana. A pak c bude rovno r, nazvu to r na druhou. Když z toho vypočítáte r, odmocnina z 9 plus 16 je 5 metrů, přesně jak jsme řekli. Ale znáte-li 3-4-5 trojúhelníky, můžete to použít. Tohle je r, které použijeme tady. Použijeme 5 metrů na druhou, a když to dopočítáme, vyjde elektrické pole 2,88 newtonů na coulomb. To je velikost elektrického pole tvořeného v tomto bodě P kladným nábojem. Jak získáme vodorovonou složku toho pole? Existuje několik způsobů. Jeden způsob je určit tento úhel. Určíme-li tento úhel, získáme vodorovnou složku užitím goniometrie. Jak určím tento úhel? Tento úhel je stejný jako ten tady dole. Toto budou podobné trojúhelníky, protože tady mám dvě vodorovné čáry a tahle příčka je obě protíná. Tento úhel je tedy shodný s tímto, a určím-li tento, určím i ten nahoře. Jak získám tento úhel? Znám všechny strany tohoto trojúhelníka a můžu použít sinus, cosinus i tangens. Použiji tangens. Tangens úhlu je definován jako protilehlá odvěsna ku přilehlé. Víme, že protilehlá strana úhlu je 4 metry a přilehlá je 3 metry, takže tangens theta je roven 4/3. Jak dostaneme thetu? Řekneme, že theta se rovná inverznímu tangentu 4/3. Provedeme inverzi tangentu na obou stranách. Nalevo vyjde theta a když tohle dosadíte do kalkulačky, vyjde 53,1 stupňů. To je tento úhel. Tohle je 53,1 stupňů, ale to znamená, že tento úhel tady nahoře je také 53,1, protože jde o ten samý úhel. Tato vodorovná složka není tatáž jako tyto 3 metry a toto příčné elektrické pole není 5 metrů, ale úhly mezi těmito složkami jsou stejné jako mezi těmito délkami. Jak určím tuto vodorovnou složku? Tato strana je přilehlá tomuto úhlu, takže tato E_x je tomu úhlu přilehlá. Použijeme kosinus. Kosinus 53,1 stupňů bude roven přilehlé straně, což je E_x. Zapíšeme to jako E_x děleno přeponou, a přeponu už jsme vypočítali. Tohle je velikost celkového elektrického pole, tedy přepona, a to je 2,88. E_x tedy bude 2,88 newtonů na coulomb krát cosinus 53,1. To nám po zadání do kalkulačky vyjde 1,73 newtonů na coulomb. Tolik elektrického pole vytvoří tento kladný náboj ve směru x. Tolik je tato složka. Tohle je 1,73 newtonů na coulomb. Tolik nám vyšlo. To dosadím sem. Abyste získali vodorovnou složku žlutého pole záporného náboje, můžete to celé projít znovu, nebo si můžete všimnout, že díky souměrnosti musí být tato vodorovná složka totožná s tou kladného náboje. Obě jsou 1,73 a obě jsou kladné, protože obě tyto složky míří doprava. Abychom určili celkové elektrické pole ve směru x, vezmeme 1,73 kladného náboje a přičteme to k vodorovné složce záporného náboje, což je také +1,73, a získáme vodorovnou složku celkového elektrického pole, rovnou 3,46 newtonů na coulomb. To je vodorovná složka celkového elektrického pole v tomto bodě. Víceméně jsme vzali tyto hodnoty a sečetli je, což je vlastně dvojnásobek jedné z nich. A teď si můžete lámat hlavu, že je to vlastně jen vodorovná složka. Jak určíme velikost celkového elektrického pole? Bude to stejná hodnota, protože jsme tu neměli žádnou svislou složku. Vodorovná složka bude rovna velikosti celkového elektrického pole v tomto bodě. Kdyby tu svislá složka byla, museli bychom k určení velikosti celkového pole použít Pythagorovu větu. Ale protože jsme měli jen vodorovnou složku a tyto svislé složky se vyrušily, celkové elektrické pole bude mířit doprava a bude rovné dvojnásobku jedné z vodorovných složek, které, když je sečtete, dají dohromady 3,46 newtonů na coulomb. To je velikost celkového elektrického pole a jeho směr je přímo doprava. Opakování: máte-li dvojrozměrnou úlohu na elektrické pole, zakreslete pole každého náboje, s rozložte každé z nich do složek. Je-li přítomna souměrnost, zjistěte, které složky se vykrátí. K určení celkového elektrické pole použijte nevykrácené složky a určete příspěvky každého elektrického náboje v tom směru. Přičtěte je či odečtěte, jak je třeba, podle toho, zda míří doprava či doleva, čímž získáte celkové elektrické pole obou nábojů v daném místě.
video