Elektřina
Elektřina (11/18) · 9:51

Elektrická potenciální energie: 2. část Jak spočítat rozdíl elektrické potenciální energii, pokud máme proměnlivé (nekonstantní) elektrické pole? (budeme potřebovat trochu integrálního počtu)

V minulém videu jsme určili, kolik energie musíme dát částici, abychom jí pohnuli v konstantním elektrickém poli. Podívejme se, můžeme-li to samé udělat v proměnlivém elektrickém poli, případně dokážeme-li určit elektrický potenciál jedné polohy vůči druhé. Mějme tedy bodový náboj. Nemusí to být bodový náboj, ale řekněme, že existuje pole vytvářené tímto kladným nábojem o velikosti +q1 coulombů. A pokud bychom chtěli kreslit siločáry… A tohle je samozřejmě jiná situace než nekonečně velká, rovnoměrně nabitá plocha, protože toto elektrické pole bude proměnlivé, že? Jak vypadá elektrické pole tohoto náboje? To elektrické pole bude vypadat takto. Je to síla, kterou působí na libovolnou částici, a vždy míří směrem ven, protože zkušební částici vždy považujeme za kladnou, a kladná částice bude od tohoto kladného náboje odpuzována. To pole je Coulombova konstanta krát tento náboj q1 ku vzdálenosti, která nás od tohoto náboje dělí. Pokud toto elektrické pole zakreslím zblízka, je pěkně silné. Jak se vzdalujeme, pole trochu slábne. Vždy působí směrem od středu náboje. To už víte. To co tu kreslím je vektorové pole, kde náhodně vybírám body a jim odpovídající vektory, které míří směrem ven a v každém bodě dané vzdálenosti mají stejnou velikost. Vím, že moje nejsou úplně přesné, ale chápete to, ne? Velikost těchto vektorů klesá se čtvercem vzdálenosti. Takto by pole vypadalo, kdybych je nakreslil jako haldu vektorů. A to dává pro zopakování smysl, ne? Kdybychom měli zkušební náboj q2, působí na něj síla q2 krát tohle, a to je prostě Coulombův zákon. Síla působící na částici q2 je rovna elektrickému poli krát q2, tedy 'k' krát 'q1' krát 'q2' lomeno 'r' na druhou. Tohle je Coulombův zákon, vlastně to z něj vychází. Když už to víme, vezměme si jinou kladnou částici, řekněme q2. Tohle je kladný náboj q2, který se odpuzuje od tohoto q1. Zjistěme, kolik práce dá posunout tuto částici po určité dráze. Pole ji tlačí směrem ven. Musíme vynaložit práci, abychom ji tlačili dovnitř. Tlačme ji dovnitř. Řekněme, že je v 10 metrech. A řekněme, že tato vzdálenost… Nakreslím přímku od středu… Řekněme, že tato vzdálenost je 10 metrů a já ji chci posunout o 5 metrů sem. Časem ji posunu sem, takže skončí ve vzdálenosti 5 metrů. Jakou práci vynaložím k jejímu posunutí o 5 metrů k tomuto náboji? Tohle pole není konstatní. Ale můžeme uvážit hodně hodně malou dráhu, kterou označíme dr, změna poloměru, a jak vidíte, čeká nás nějaký diferenciální a integrální počet. Pokud nepobíráte, co se tady děje, asi budete chtít oprášit matematickou analýzu, ale vraťme se k tomu, jaká práce je třeba k posunutí této částice o maličkou dráhu? Na této maličké dráze můžeme elektrické pole považovat za konstantní, takže maličká práce nutná k posunutí částice bude rovna Coulombově konstantě krát q1 q2 děleno r na druhou krát dr. Než půjdeme dál, zamysleme se nad něčím. Podle Coulombova zákona je tohle síla, kterou tento náboj působí na tuto částici, respektive kterou na ni působí toto pole. Síla, kterou musíme na tuto částici působit, musí mířit dovnitř. Musí jít opačným směrem, takže musí být záporná. Proč to? Protože musíme úplně vyrovnat sílu pole. Pokud se částice už trochu pohybovala, naše síla ji v poli umožní nezpomalit, a jestli se nepohybovala, museli bychom ji postrčit jen maličko větší silou, aby se rozhýbala, a pak už by stačilo jen vyrovnávat sílu pole, aby nezpomalovala ani nezrychlovala. Takže tohle je množství práce, a já chci vysvětlit, že tohle minus tu je, protože naše síla mítí proti směru pole. Jak určíme celkovou práci? Určili jsme množství práce potřebné k posunutí odtud sem, a já to nakreslil i trochu větší, než by to bylo ve skutečnosti. Toto dr je nekonečně malá změna poloměru. Chceme-li určit celkovou práci, musíme je všechny posčítat. Jakou práci vynaložíme odtud sem, pak práci odtud sem, odtud sem, až dorazíme do 5 metrů od náboje. Je to nekonečný součet nekonečně malých dílků. A, to není nic jiného než integrál, jemuž je rovna celková práce. Bude to určitý integrál, protože začínáme tady. Sčítáme od našich původních 10 metrů do r rovno 5 metrů. Může být trochu zvláštní začínat na vyšší hodnotě a končit na nižší, ale přesně to uděláme. Tlačíme to dovnitř. Pak vezmeme integrál minus k q1 q2 lomeno r na druhou dr. Tohle všechno jsou kontantní členy, že? Můžeme je vytknout. Tohle se rovná... Minus k q1 q2 krát integrál od 10 do 5 z r na minus druhou dr. A to se rovná minus k krát q1 krát q2. Provedeme integraci. Nemusíme přičítat C, protože to je určitý integrál. Jak zintegrujeme r na minus druhou? Je to minus r na minus prvou. To minus u r se vyruší s tímto. Vyjde plus r na minus prvou, kam dosadíte 5 a pak odečtete od hodnoty pro 10. Budu pokračovat tady, nejdřív něco smažu. Práce je rovna… Přepíšu to. Tady jsme měli minus a pak nám vyšlo tady z integrálu a obě se vyrušily, takže máme k q1 q2 krát integrál v bodě 5, takže 1 lomeno 5? r na minus prvou, takže 1 lomeno r minus integrál v 10, to se rovná… 1 ku 5 je to samé co 2 ku 10. Práce se rovná k q1 q2 krát 2 ku 10 minus 1 ku 10, to je 1 ku 10, takže výsledek je k q1 q2 lomeno 10. To je práce potřebná k přemístění částice odtud sem. Podobně lze říct, že rozdíl potenciálních energií částice v tomto místě vůči tomuto… Potenciální energie zde je o tolik větší. Bude to v joulech, protože to je jednotka energie, práce a potenciálu, protože potenciál je energie. Rozdíl elektrických potenciálů mezi těmito body je o tuto hodnotu vyšší. Zkusme jiný příklad, a tenhle by vás mohl zaujmout. Vlastně to dodělám v dalším videu, protože už uběhlo 10 minut. Uvidíme se brzy.
video