Hlavní obsah
Kurz: Integrální počet > Kapitola 1
Lekce 2: Neurčité integrály mocnin- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin: záporné mocniny a mocniny ve tvaru zlomku
- Neurčitý integrál: součet a násobky
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin: součet a násobky
- Úpravy integrovaných výrazů před samotným integrováním
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin: úpravy před integrováním
- Úpravy před integrováním: těžší úlohy
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin: shrnutí
Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin
Umíš najít funkci, jejíž derivace je x^n? Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Vypočítejme derivaci podle x xⁿ⁺¹ lomeno (n plus 1)
plus nějaká konstanta c. A budeme předpokládat,
jelikož chceme, aby tento výraz byl definovaný, budeme předpokládat,
že n se nerovná -1. Pokud by se rovnalo -1,
dělili bychom 0, a u toho není definováno,
co to znamená. Takže pojďme derivovat. Takže toto bude rovno... Derivace xⁿ⁺¹ lomeno n plus 1, na to můžeme použít
pravidlo pro derivaci mocniny. Takže náš exponent je n plus 1. Přeneseme jej dopředu. Takže to bude
n plus 1 krát x na... Použiju na to stejnou barvu.
Barvy, to je problém. Krát x na... Místo n plus 1,
odečteme 1 od exponentu, pouze derivujeme mocninu. Takže n plus 1 minus 1
rovná se n. A pak nesmíme zapomenout,
že dělíme tímto n plus 1. Takže děleno n plus 1. A pak máme plus c. Derivace konstanty podle x,
konstanta se nemění, když se mění x,
takže to bude 0, takže plus 0. A jelikož n není rovno -1, víme, že toto bude definováno. Toto bude něco děleno
samo sebou, takže to bude 1. A tento celý výraz
se zjednoduší na xⁿ. Takže derivace tohoto výrazu
je rovna xⁿ. Takže na základě tohoto,
jaký je integrál, jen změním barvu... Jaký je integrál xⁿ? A pamatujte, toto je ten zvláštní zápis,
který používáme. Bude to dávat smysl,
když přejdeme na určité integrály. Ale jaký je tedy integrál xⁿ? A mohli bychom říct
integrál podle x, chceme-li. Jiný název pro toto
je neurčitý integrál. Neurčitý integrál. Víme, že toto říká,
že xⁿ je derivace čeho? To jsme už vypočítali.
Je to derivace tohoto a vyjádřili jsme to obecně. Zahrnujeme tady všechny konstanty. Mohli bychom mít xⁿ⁺¹ lomeno (n plus 1) plus 0, plus 1, plus 2,
plus π, plus miliarda. Takže toto bude rovno
xⁿ⁺¹ lomeno (n plus 1) plus c. Takže toto je dost užitečné. Můžete to brát jako
obrácené pravidlo derivace mocniny. A platí to pro všechna n
kromě n rovná se -1. To bych rád zdůraznil. n se nerovná -1. Znovu, toto by bylo nedefinováno, pokud by se n rovnalo -1. Ukážeme si pár příkladů,
kde použijeme toto, můžete tomu říkat obrácené pravidlo
derivace mocniny, chcete-li, nebo pravidlo integrace mocniny. Takže si vezměme integrál x⁵. Jaký je integrál x⁵? Stačí říct,
že 5 odpovídá tomuto n. Musíme jen zvýšit exponent o 1. Takže toto bude rovno x⁵⁺¹. A pak to vydělíme stejnou hodnotou. Ať už byl exponent jakýkoli,
když ho zvýšíme o 1, vydělíme to celé stejnou hodnotou,
děleno 5 plus 1. A samozřejmě chceme zahrnout
všechny případné integrály, takže tady přidáme c. Takže toto bude rovno
x⁶ lomeno 6 plus c. A můžete si to ověřit.
Zderivujte to pomocí derivace mocniny a opravdu dostanete x⁵. Vyzkoušejme další příklad. Vyzkoušejme...
Teď to udělám modrou. Vyzkoušejme integrál...
Ať je to zajímavé, řekněme 5 krát x⁻² dx. Takže jak bychom to vyřešili? Můžete to zjednodušit, a ačkoli jsem vám to ještě
přesně nedokázal, víme, že skaláry můžeme přesouvat
před i za znak integrálu, když tím skalárem násobíme. Takže toto se rovná
5 krát integrál x⁻² dx. A teď jen použijeme,
jak bychom řekli, toto obrácené pravidlo mocniny,
takže toto bude rovno 5 krát x⁻²⁺¹
lomeno -2 plus 1 plus nějaká konstanta tady. A pak to můžeme přepsat na 5 krát... -2 plus 1, takže x⁻¹,
lomeno -2 plus 1, to je -1, plus nějaká konstanta. A to je rovno
5 krát -x⁻¹ plus nějaká konstanta. A pak pokud chceme,
můžeme roznásobit 5. Takže to je rovno -5x⁻¹. Teď bychom mohli napsat
plus 5 krát konstanta, ale toto je prostě
libovolná konstanta. Takže to stále bude
libovolná konstanta. Ale možná bychom mohli, pokud chcete ukázat,
že to je jiná konstanta, můžeme říct,
že toto je c1, c1, c1. Vynásobíte 5 krát c1
a dostanete jinou konstantu. Můžeme ji nazvat prostě c,
které je rovno 5 krát c1. Tak a je to.
-5x⁻¹ plus c. A opět si to vyzkoušejte zderivovat
a uvidíte, že dostanete tento výraz tady nahoře.