Hlavní obsah
Kurz: Integrální počet > Kapitola 1
Lekce 2: Neurčité integrály mocnin- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin: záporné mocniny a mocniny ve tvaru zlomku
- Neurčitý integrál: součet a násobky
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin: součet a násobky
- Úpravy integrovaných výrazů před samotným integrováním
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin: úpravy před integrováním
- Úpravy před integrováním: těžší úlohy
- Obrácené pravidlo pro derivaci mocnin: shrnutí
Úpravy před integrováním: těžší úlohy
Zde budeme hledat primitivní funkce výrazů, které už nejsou tak jednoduché. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu je naším cílem
zintegrovat tento šíleně vypadající výraz. Neboli najít neurčitý integrál
tohoto šíleně vypadajícího výrazu. Hlavní je si uvědomit,
že se tento výraz skládá z několika členů. A neurčitý integrál celého tohoto výrazu bude roven neurčitému integrálu
jednotlivých členů. Takže to bude rovno... Můžeme vzít tento člen
a určit jeho neurčitý integrál. 7x³ dx. A pak od toho odečteme
neurčitý integrál tohoto členu. Takže toto a pak minus neurčitý integrál 5 krát odmocniny z x dx. A pak se můžeme podívat na tento člen. Takže plus neurčitý integrál
18 odmocnin z x lomeno x³ dx. A pak nakonec,
už mi docházejí barvy. Nakonec...
Potřebuju více barev. Integrál tohoto členu. Takže plus integrál x⁻⁴⁰ dx. Prostě jsem to přepsal
a barevně odlišil. Takže zintegrujme všechny členy
a uvidíte, že nám na to bude stačit naše obrácené pravidlo derivace mocniny
neboli pravidlo integrace mocniny, jakkoli tomu chcete říkat. Začněme s tím prvním členem. Najdeme zatím integrál bez konstanty
a konstantu přidáme až na konci. A dostaneme tak
ten nejobecnější integrál. Takže tady je exponent 3.
Můžeme ho zvýšit o 1. Takže to bude x⁴. Udělám to tou stejnou fialovou.
Nebo růžovou. Bude to x⁴.
A děleno 4. Takže x⁴ lomeno 4 je integrál x³
a tady jsme měli ještě koeficient. Těch 7 vepředu.
Takže ještě přidáme 7 vepředu. Takže máme 7x⁴ lomeno 4.
V pořádku. Od tohoto členu odečteme
integrál tohoto. Teď možná není jasné, že i na toto lze použít naše
obrácené pravidlo derivace mocniny. Ale stačí si jen uvědomit,
že 5 krát odmocnina z x je to stejné jako...
Je to stejné jako 5x na 1/2. Takže zase stejně,
exponent je 1/2, zvýšíme jej o 1. Bude to x na 3/2.
A pak děleno navýšeným exponentem. Takže děleno 3/2
a ještě jsme měli vepředu 5, takže ji tam budeme mít i teď. Další výraz vypadá ještě šíleněji,
ale opět to můžeme zjednodušit. Toto je stejné...
Udělám to tady. Toto je stejné jako
18x na 1/2 krát x na -3. x na 3 ve jmenovateli
je to stejné jako x na -3. Máme stejný základ,
jen sečteme exponenty, takže to bude rovno
18 krát x na 2 a 1/2. Na 2 a 1/2, nebo ještě jinak, toto je stejné jako
18 krát x na 5/2. Na 5/2.
Udělal jsem to správně? Ano, -3...
Pardon, tady bude -2 a 1/2 a tady bude -5/2. x na -3 je to stejné jako x na -6/2, -6/2 plus 1/2 je -5/2. Takže zase musíme
zvýšit tento exponent. Takže -5/2 plus 1,
to bude -3/2. Takže máme x na -3/2
a pak děleno tím zvýšeným exponentem, takže děleno -3/2. A pak máme 18 vepředu. A to budeme muset
očividně ještě zjednodušit. A nakonec exponent v tomto členu...
Nebudu už používat tuto fialovou. Exponent v tomto členu je -40,
když jej zvýšíme, dostaneme x na -39,
to vše lomeno -39. A teď můžeme přidat naši konstantu c. A teď už stačí jen zjednodušit
tyto šílenosti. Ten první člen
je už skoro zjednodušený, můžeme jej napsat jako 7/4x⁴. U tohoto členu je -5 děleno 3/2, takže 5 lomeno 3/2 je rovno
5 krát 2/3, což je rovno 10/3. Takže tento člen se zjednoduší na
-10/3x na 3/2. A pak máme celou tuto šílenost. 18 děleno -3/2. 18 děleno -3/2
je rovno 18 krát -2/3, což je rovno...
Můžeme to trochu zjednodušit. Toto je stejné jako 6... Toto je stejné jako 6 krát -2,
což je rovno -12. Takže tento výraz je -12x na -3/2. A konečně tento člen
můžeme přepsat jako... Pokud chceme,
můžeme prostě napsat -1/39x na -39. Plus c
a máme hotovo. Našli jsme neurčitý integrál
celé této šílenosti. A doporučuju vám,
abyste si toto zderivovali, na což vám stačí
pravidlo derivace mocniny. Zderivujte si to
a ověřte si, že se to opravdu rovná výrazu,
který jsme právě zintegrovali.