Hlavní obsah
Kurz: Integrální počet > Kapitola 1
Lekce 3: Neurčité integrály dalších elementárních funkcíNeurčitý integrál funkce 1/x
Z diferenciálního počtu si pamatujeme, že derivace ln(x) je 1/x. Integrace jde opačným směrem: integrál (nebo primitivní funkce) funkce 1/x by měla být funkce, jejíž derivace je 1/x. A to jsme právě viděli, že to je ln(x). Zádrhelem je, že pokud je x záporné, tak ln(x) není definováno! Řešení je prosté: primitivní funkce 1/x je ln(|x|). Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu bych se rád zamyslel
nad integrálem 1/x, jinak řečeno integrálem x⁻¹. My už víme,
že pokud bychom zkusili použít pravidlo integrace mocniny,
dostali bychom něco nedefinovaného, dostali bychom x⁰ lomeno 0. A to nedává smysl. A možná si říkáte,
že víte, co dělat v tomto případě. Když jsme se učili poprvé o derivacích,
naučili jsme se, že derivace... Udělám to žlutě. Derivace podle x
přirozeného logaritmu x je rovna 1/x. Tak proč nemůžeme prostě říct,
že integrál tohoto výrazu tady je roven přirozenému logaritmu x plus c. A ono to není úplně špatně,
problém ale je, že to není dostatečně obsáhlé. Když říkám, že to není dost obsáhlé,
myslím tím, že definiční obor naší původní funkce,
kterou integrujeme, jsou všechna reálná čísla
kromě x rovná se 0. Takže tady x nemůže být rovno 0. Ale definiční obor tady
jsou pouze kladná čísla. Takže tady pro tento výraz
musí být x větší než 0. Takže by bylo dobré,
kdybychom našli integrál, který má stejný definiční obor
jako funkce, kterou integrujeme. Takže bychom rádi našli integrál,
který je definován všude tam, kde je definována naše původní funkce,
takže vlastně všude kromě x rovná se 0. Takže jak toto můžeme poupravit, aby to bylo definováno
i pro záporné hodnoty? Jedna možnost je
přirozený logaritmus absolutní hodnoty x. Přirozený logaritmus absolutní hodnoty x. Napíšu tady malý otazník,
protože nevíme jistě, jaká bude derivace tohoto výrazu. Já vám to tady přesně nedokážu, ale pokusím se vám
objasnit tu základní myšlenku. Takže abychom to pochopili,
načrtněme si přirozený logaritmus x. Udělal jsem to už předem. Takže přibližně takto vypadá
graf přirozeného logaritmu x. Takže jak bude vypadat
přirozený logaritmus absolutní hodnoty x? Pro kladná x bude vypadat úplně stejně. U kladných x je jejich absolutní hodnota
stejná jako ta původní. Takže to pro kladná x
bude vypadat úplně stejně. Ale toto bude definováno
i pro záporná x. Pokud vezmeme
absolutní hodnotu -1, což je 1, dostaneme přirozený logaritmus 1.
To je tady. Jak se budeme víc a víc blížit k 0 zleva
a budeme brát absolutní hodnoty, tak to bude vypadat přesně jako
tato křivka pro přirozený logaritmus x. Levá strana přirozeného logaritmu
absolutní hodnoty x bude zrcadlovým obrazem podle osy y. Bude to vypadat nějak takto. Na této funkci je hezké,
že je definovaná všude, je definovaná všude kromě...
Snažím se to nakreslit co nejsymetričtěji. Je definovaná všude
kromě x rovná se 0. Takže pokud zkombinujeme
tuto růžovou část a tuto část napravo,
když je obě dáme dohromady, dostaneme y se rovná
přirozený logaritmus x. Teď se zamysleme
nad derivací této funkce. My už víme, jaká je derivace
přirozeného logaritmu x. A pro kladné hodnoty x...
Zapíšu to. Pro x větší než 0,
přirozený logaritmus absolutní hodnoty x je roven přirozenému logaritmu x.
Zapíšu to. Je roven přirozenému logaritmu x. A také víme, že jelikož tyto dva výrazy
se rovnají pro x větší než 0, pro x větší než 0 bude derivace
přirozeného logaritmu absolutní hodnoty x rovna derivaci přirozeného logaritmu x, která je rovna 1/x,
pro x větší než 0. Tak si to načrtněme. Udělám to zeleně,
je to rovno 1/x. Takže 1/x,
to už jsme někdy viděli. Vypadá to nějak takto. Můj nejlepší pokus nakreslit to
podle vertikální a horizontální asymptoty. Vypadá to tedy nějak takto. Takže toto tady je
1/x pro x větší než 0. A ukazuje nám to,
můžete to jasně vidět, tu směrnici tady. Směrnice tečny je 1
a můžete vidět, když se podíváte
tady na křivku derivace, že derivace by tady měla být rovna 1. Když jdeme blíže k 0,
máme tady velmi prudkou směrnici vzhůru. A také vidíme, že derivace
má velmi vysokou hodnotu. A pak, když jdeme od 0,
je to stále strmé, stále strmé, ale pak je to pozvolnější a pozvolnější,
až se dostaneme k 1. A pak je to pozvolnější a pozvolnější, ale nikdy se to nedostane
do úplné roviny. A to přesně dělá i ta derivace. A co dělá přirozený logaritmus
absolutní hodnoty x tady? Když jsme tady,
směrnice se velmi blíží 0. Je to symetrické. Směrnice tady je v podstatě
opakem směrnice tady. Možná to objasním,
když to tady ukážu. Jakkoli vypadá směrnice tady, je přesný opak toho, jaká je směrnice
na symetrickém bodě na druhé straně. Když je na druhé straně
hodnota směrnice tady, tady přesně bude její opak,
bude to přímo tady. A pak je směrnice
zápornější a zápornější. Ta směrnice tady. Tady je směrnice +1. Tady to bude -1. Takže tady je směrnice tečny -1. A jak se pak dostáváme blíže 0,
bude to čím dál zápornější. Takže derivace přirozeného logaritmu
absolutní hodnoty x, když x je menší než 0,
vypadá nějak takto. Vypadá takto. A jak vidíte, není to opět
žádný ultrapřesný důkaz. Ale vidíte, že derivace
přirozeného logaritmu absolutní hodnoty x je rovna 1/x
pro všechna x nerovnající se 0. Takže to vidíte
a snad si dokážete i představit, že ta derivace...
Napíšu to takto. Derivace přirozeného logaritmu
absolutní hodnoty x se opravdu rovná 1/x
pro všechna x nerovnající se 0. Toto je tedy
mnohem lepší integrál 1/x. Má úplně stejný definiční obor. Takže když budeme přemýšlet
nad integrálem 1/x... A neudělal jsem tady přesný důkaz. Nepoužil jsem definici derivace
a další ty věci. Ale dal jsem vám snad
jakýsi vizuální důkaz. Řekli bychom tedy, že to je přirozený logaritmus
absolutní hodnoty x plus c, a teď máme integrál,
který má stejný definiční obor jako funkce,
kterou integrujeme.