Hlavní obsah
Plocha mezi křivkou a x-ovou osou
K vypočítání integrálu použijeme základní větu integrálního počtu a primitivní funkci. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme funkci f(x) je rovno x². A já chci zjistit velikost plochy
pod křivkou y se rovná f(x). Takže to je moje osa y. To je moje osa x. A teď si nakreslím moji funkci.
Moje funkce vypadá takto. Alespoň tedy v prvním kvadrantu. Zatím ji načrtnu jen tam. Mohl bych ji samozřejmě zakreslit
i v druhém kvadrantu. Ale mě zajímá plocha
pod křivkou a nad osou x mezi x rovno 1
a x rovno 4. A už mě nebaví aproximovat plochy. Chci najít přesnou velikost plochy
pod touto křivkou a nad osou x. A přesnou velikost plochy pod křivkou,
tuto hněde vyšrafovanou oblast, určíme pomocí určitého integrálu. Určitého integrálu od 1 do 4
funkce f(x) dx. Tento zápis můžeme chápat tak,
že si představíme hromadu, nekonečné množství
nekonečně úzkých obdélníků, po jejichž sečtení
dostaneme tuto plochu. Nakreslím jeden nekonečně úzký obdélník,
možná ne až tak nekonečně úzký. Nakreslím to takto. To by byl jeden z těch obdélníků
a tohle další. Mělo by vám to připomínat
Riemannův součet. Z toho vlastně vychází
Riemannův integrál. Představte si Riemannův součet
s nekonečným množstvím těchto obdélníků, jejichž šířka,
jak si to já představuju, je dx a výška obdélníku
je funkce vyčíslená v x, které je v tomto intervalu. Takže tento zápis
reprezentuje plochu jednoho takového obdélníku
a my jsme je všechny sčítali. Tohle je takové prodloužené S,
které vypadá jako sigma při sumě. Sčítáme nekonečné množství
nekonečně úzkých obdélníků, neboli plochy těchto nekonečně
úzkých obdélníků mezi 1 a 4. Z tohoto tedy vychází
zápis určitého integrálu. Ale stále jsme nic neudělali.
Máme jen zápis označující přesnou plochu mezi 1 a 4
pod křivkou f(x) a nad osou x. Abychom už s tím konečně něco udělali, musíme se podívat na
druhou základní větu integrálního počtu, druhou část základní věty
integrálního počtu. Ta nám říká,
že pokud k f(x) existuje integrál, takže f(x) je derivací
nějaké funkce F(x), neboli F(x) je integrálem f(x), pak můžu tento výraz vyčíslit, a na to tady máme celé video,
které vysvětluje, proč to dává smysl. Toto spočítáme tak,
že vyčíslíme integrál f, jeden z integrálů f v bodě 4, a od něj odečteme
integrál vyčíslený v bodě 1. Tak to vypočítejme
pro toto tady. Takže máme...
Jen to přepíšu. Místo f(x) napíšu x². Takže určitý integrál od 1 do 4 x² dx. Teď musíme spočítat
integrál tohoto výrazu. Když je tedy f(x) rovno x²,
čemu je rovno F(x)? Jaký je ten integrál? Snad si pamatujete
z pravidla derivace mocniny, že když podle x zderivujeme x³, dostaneme 3x², což je dost blízko x²,
až na tento násobek 3. Takže vydělme obě strany 3. Vydělíme obě strany 3
a zjistíme, že derivace x³ děleno 3
je opravdu x². Nebo můžeme říct,
že toto je to stejné jako derivace podle x
x³ lomeno 3. Zderivujte si to.
Bude to 3 krát 1/3 a pak snížíme exponent
a bude to x². Takže toto je rovno x². Je to rovno x². Takže v tomto případě
je F(x), náš integrál, roven x³ lomeno 3. Už ho jen musíme vyčíslit
v bodě 4 a 1, a někdy používáme
takovýto zápis... Takže integrál je x³ lomeno 3
a budeme jej vyčíslovat... Rád sem vždy píšu ta čísla... Vyčíslovat v bodě 4
a odečítat vyčíslený v 1. Někdy sem někdo píše
i takovou malou čáru, tím říkáme, že to vyčíslujeme
v bodě 4 a pak v bodě 1. Ale já to napíšu bez té čáry. Když vyčíslíme tento výraz v bodě 4
a od toho odečteme výraz vyčíslený v 1, tak to bude rovno... 4³ je 64, takže to bude
64 lomeno 3. Odliším to barevně,
toto tady se rovná tomuto zde, a od toho odečteme
toto vyčíslené v bodě 1. Když to vyčíslíme v 1,
dostaneme 1³, to je 1, lomeno 3. Dostaneme 1/3. Aby to bylo jasné,
toto je toto tady. A teď můžeme tyto zlomky
od sebe odečíst. 64 lomeno 3 minus 1/3,
to se rovná 63 lomeno 3. A 3 se do 63 vejde
přesně 21 krát. Takže jakékoli máme jednotky, obsah této hnědé oblasti je
21 čtverečních jednotek.