Hlavní obsah
Kurz: Integrální počet > Kapitola 1
Lekce 4: Určité integrály elementárních funkcí- Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny
- Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny
- Určitý integrál racionální funkce
- Určitý integrál odmocniny
- Určitý integrál goniometrické funkce
- Určitý integrál s přirozeným logaritmem
- Určitý integrál: základní funkce
- Určitý integrál po částech definované funkce
- Určitý integrál z absolutní hodnoty
- Určitý integrál po částech definované funkce
Určitý integrál racionální funkce
Pomocí obráceného pravidla derivace mocniny najdeme určitý integrál funkce (16-x³)/x³ s mezemi -1 a -2.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Chceme spočítat
určitý integrál od -1 do -2 16 minus x³ lomeno x³ dx. Zpočátku to může vypadat hrozivě. Mám tady lomený výraz,
x v čitateli a x ve jmenovateli, ale nezapomeňte,
stačí nám pár algebraických úprav a bude to vypadat mnohem přitažlivěji. Toto je stejné jako
určitý integrál od -1 do -2 16 lomeno x³ minus x³ lomeno x³, minus x³ lomeno x³ dx. A čemu se toto bude rovnat? Bude to rovno
určitému integrálu od -1 do -2... Můžu přepsat ten první výraz...
Udělám to jinou barvou. Můžu jej přepsat jako 16x⁻³ a ten druhý, tam máme
minus x³ lomeno x³. x³ lomeno x³
bude rovno prostě 1. Takže toto bude rovno
minus 1 dx. A čemu bude toto celé rovno? Zintegrujeme každou z těchto částí a pak je vyčíslíme
v jednotlivých mezích. Pojďme na to. Integrál 16x⁻³, na to použijeme
obrácené pravidlo derivace mocniny. Můžeme tomu říkat
pravidlo integrace mocniny nebo pravidlo mocniny pro integraci. Zvýšíme exponent o 1,
takže z -3 se stane -2, a pak to vydělíme stejným číslem, -2. Takže to bude 16 děleno -2 krát x⁻². Pouze jsem zvýšil exponent
a vydělil to stejným číslem. Takže toto je ten integrál. A 16 děleno -2 je -8. Takže máme -8x⁻². A pak integrál -1, to je jednoduše -x. -x. A vy si možná prostě pamatujete,
že když zderivujete -x, dostanete -1, nebo si to můžete představit jako -x⁰,
protože to vlastně 1 je, vyjde to stejně. Zvýšíme exponent o 1
a dostaneme x¹. A pak to vydělíme 1,
můžeme si to tam představit, každopádně se tak či tak
dostaneme k minus x. A teď to vyčíslíme. Vyčíslíme to v daných mezích
a odečteme od sebe. Vyčíslíme to v bodě -2 a pak to od toho odečteme
vyčíslené v -1. Udělám to dvěma různými barvami,
abychom se v tom vyznali. Vyčíslíme to v -2
a pak to vyčíslíme v -1. Prvně to tedy vyčísleme v -2. Takže to bude rovno... Když to vyčíslíme v -2,
bude to -8 krát x⁻², takže (-2)⁻² minus (-2). A od toho odečteme to stejné
vyčíslené v -1. Takže to bude
-8 krát (-1)⁻² minus (-1). Takže kolik to tedy bude? (-2)⁻². (-2)⁻² je rovno
1 lomeno (-2)², což je rovno 1/4. Takže toto je rovno +1/4, ale -8 krát +1/4
bude rovno -2. A pak dostaneme
-2 minus -2, což je -2 plus 2. Takže to celé,
co jsem napsal fialově, bude rovno 0. A pak, když se podíváme
na ten oranžový výraz, když to vyčíslujeme v -1, (-1)⁻²,
to je 1 lomeno (-1)². Takže to bude prostě 1. A pak dostáváme -8 plus 1, což je rovno -7. Takže celé toto
se rovná -7. Ale nezapomeňte,
že odečítáme -7, takže toto se nakonec bude rovnat,
chvilka napětí, bude to rovno +7. Samozřejmě není nutné psát to +,
napsal jsem ho tam, abych zdůraznil, že to bude rovno +7.