Hlavní obsah
Kurz: Integrální počet > Kapitola 1
Lekce 4: Určité integrály elementárních funkcí- Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny
- Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny
- Určitý integrál racionální funkce
- Určitý integrál odmocniny
- Určitý integrál goniometrické funkce
- Určitý integrál s přirozeným logaritmem
- Určitý integrál: základní funkce
- Určitý integrál po částech definované funkce
- Určitý integrál z absolutní hodnoty
- Určitý integrál po částech definované funkce
Určitý integrál s přirozeným logaritmem
Vypočítáme si určitý integrál funkce (6+x²)/x³ s mezemi 2 a 4. K výpočtu budeme potřeboval integrál z funkce 1/x, což je ln(x).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Spočítejme určitý integrál
od 2 do 4 6 plus x²
lomeno x³ dx. Zpočátku to může vypadat hrozivě.
Máme tady lomený výraz. Ale když to přepíšeme,
možná vás napadne, jak by se to dalo zjednodušit. Takže toto je rovno
integrálu od 2 do 4 6 lomeno x³
plus x² lomeno x³ dx. Jen jsem rozdělil čitatel.
Vydělil jsem každý člen x³. A toto můžeme přepsat. Je to rovno integrálu od 2 do 4 6x⁻³, to je ten první člen. A x² děleno x³,
to bude 1 lomeno x. Takže plus 1 lomeno x dx. Toto bude rovno...
Zintegrujeme každou část a vyčíslíme to v bodě 4
a vyčíslíme to v bodě 2. A pak je od sebe odečteme,
ty integrály vyčíslené ve 4 a ve 2. Jaký je integrál 6x⁻³? Tady můžeme zase použít
pravidlo integrace mocniny, neboli obrácené pravidlo
derivace mocniny. Víme, že když integrujeme xⁿ dx, integrál toho výrazu
bude xⁿ⁺¹ lomeno n plus 1. A kdybychom počítali neurčitý integrál,
bylo by tam ještě plus c. My sem to plus c nedáváme, protože když vyčíslíme
integrál v obou mezích, ty konstanty "c" se vykrátí,
ať už jsou jakékoli. Takže nás to "c" moc nezajímá,
když řešíme určité integrály. Ale pojďme použít to pravidlo na 6x⁻³. Takže to bude...
Budeme mít x na -3 plus 1. To je x⁻².
A potom ještě vydělíme -2. A ještě jsme tam měli 6 vepředu. To je tedy integrál 6x⁻³. A jaký je integrál 1 lomeno x? Možná byste rádi použili
tu samou myšlenku. Svádí vás to říct,
že integrál x⁻¹, což je to stejné jako 1 lomeno x, bude roven x na -1 plus 1
lomeno -1 plus 1. Ale kolik je -1 plus 1?
To je 0. Takže toto pravidlo tady nelze použít. Ale naštěstí pro nás
je tady jiné pravidlo. A už jsme to dělali, když jsme se učili
derivovat přirozené logaritmy. Integrál 1 lomeno x,
neboli x⁻¹, je roven... Někdy to uvidíte napsané jako
přirozený logaritmus x plus c. A někdy,
a to mám já osobně radši, protože pak to můžeme vyčíslit
i pro záporné hodnoty, používáme absolutní hodnotu,
přirozený logaritmus absolutní hodnoty z x. Je to užitečné,
protože pak je to definováno i pro záporné hodnoty,
nejen pro ty kladné. Přirozený logaritmus x je definován
pouze pro kladné hodnoty x, ale když použijeme absolutní hodnotu,
můžou tady být záporné i kladné hodnoty x. A funguje to, derivace tohoto
je skutečně 1 lomeno x. Není to tady tak podstatné,
jelikož máme obě meze integrace kladné. Ale pokud by meze integrace
byly záporné, stále to jde,
když si vzpomeneme, že tady je přirozený logaritmus
absolutní hodnoty z x. Takže toto bude
plus přirozený logaritmus absolutní hodnoty z x. Není špatné to tam napsat
a pokud jsou meze kladné, absolutní hodnota z x
bude rovna x. Takže čemu se bude toto rovnat? Je to rovno...
Vyčísleme to v bodě 4. Ale než to vyčíslím ve 4,
kolik je 6 lomeno -2, to je -3. Takže když to vyčíslíme ve 4,
bude to -3 lomeno 4². 4⁻² je 1 lomeno 4². A pak plus přirozený logaritmus
absolutní hodnoty ze 4, ale absolutní hodnota ze 4
je prostě 4. Takže přirozený logaritmus 4. A od toho odečteme
všechno vyčíslené v bodě 2. Pojďme na to. Pokud to vyčíslíme pro 2,
bude to -3 lomeno 2². 2⁻² je 1 lomeno 2², plus přirozený logaritmus
absolutní hodnoty z +2, což je opět prostě 2. A kolik nám to dává? Pojďme to trochu zjednodušit. Toto je -3/16.
Uděláme to stejnou barvou. To bude tedy rovno -3...
Pardon, ne 3/16, pozor na to. Ale ano, pardon,
je to -3/16. Z nějakého důvodu můj mozek
začal myslet na 4³. -3/16 plus přirozený logaritmus 4. A pak tady máme -3/4. Udělám to stejnou barvou. Toto je -3/4. Máme tady znaménko minus,
kterým to musíme roznásobit. Takže zápor z -3/4 je +3/4. +3/4. A pak odečteme,
nezapomeňte na to znaménko minus, přirozený logaritmus 2. A čemu se to rovná? Takže toto bude rovno...
A teď to napíšu neutrální barvou. Sečtěme tyto dva členy,
které neobsahují přirozený logaritmus. Zkusíme najít společného jmenovatele,
3/4 je stejné jako... Když vynásobíme čitatel i jmenovatel 4,
je to 12 lomeno 16. Takže máme -3/16 plus 12/16, to nám dá 9/16. A pak máme ty členy,
které obsahují přirozený logaritmus. Přirozený logaritmus 4
minus přirozený logaritmus 2. To můžeme napsat jako
plus přirozený logaritmus 4 minus přirozený logaritmus 2. A možná si vzpomínáte
na vlastnosti logaritmu, že toto je stejné jako
přirozený logaritmus 4 děleno 2. Jen používám vlastnosti logaritmu. Takže toto bude
přirozený logaritmus 2. Teď si zasloužíme
trochu oslavných fanfár. Toto celé bude rovno... Bude to rovno
přirozenému logaritmu... Pardon, 9 lomeno 16
plus přirozený logaritmus 2. Plus přirozený logaritmus 2. A máme hotovo.