Hlavní obsah
Kurz: Integrální počet > Kapitola 1
Lekce 4: Určité integrály elementárních funkcí- Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny
- Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny
- Určitý integrál racionální funkce
- Určitý integrál odmocniny
- Určitý integrál goniometrické funkce
- Určitý integrál s přirozeným logaritmem
- Určitý integrál: základní funkce
- Určitý integrál po částech definované funkce
- Určitý integrál z absolutní hodnoty
- Určitý integrál po částech definované funkce
Určitý integrál po částech definované funkce
Vypočítáme určitý integrál z funkce, která je po částech definovaná, v intervalu, který zahrnuje rozdílné definice funkce.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tady funkci f(x)
a ta je definovaná po částech, pro x menší než 0
se f(x) rovná x plus 1, pro x větší nebo rovno 0
se f(x) rovná kosinus πx. A my chceme spočítat určitý integrál
od -1 do 1 f(x) dx. Možná se rovnou zeptáte,
kterou z verzí f(x) budeme integrovat, protože od -1 do 0
mluvíme o x plus 1, ale od 0 do 1
mluvíme o kosinu πx. A pokud vás přesně tohle napadlo,
přemýšlíte správně. Můžeme to trochu zjednodušit tak,
že rozdělíme tento určitý integrál. Toto bude rovno určitému integrálu
od -1 do 0 f(x) dx plus integrál od 0 do 1 f(x) dx. A proč bylo užitečné to takto rozdělit, rozdělit integrál od -1 do 1
na dva intervaly od -1 do 0
a od 0 do -1? Udělal jsem to proto,
že v bodě x rovno 0 se to mění, f(x) se mění
z x plus 1 na kosinus πx. Když se tedy podíváme
na interval od -1 do 0, f(x) je x plus 1.
Takže tady se f(x) rovná x plus 1. A když jdeme od 0 do 1,
f(x) je kosinus πx. Takže kosinus πx. Teď musíme oba integrály
vyčíslit zvlášť a pak je sečíst. Spočítejme tedy určitý integrál
od -1 do 0 (x plus 1) dx. Tak tedy,
integrál x plus 1 je... Integrál x je x² lomeno 2. Jen zvyšuji exponent
a pak dělím stejnou hodnotou. A pak plus x.
A tady vlastně dělám to stejné. Když toto je x⁰,
bude to x¹ lomeno 1, což je prostě x. A vyčíslím to v 0
a od toho to odečtu vyčíslené v 1. Pardon, vyčíslené v -1. A toto bude rovno... Když to vyčíslím v 0...
Udělám to jinou barvou. Když to vyčíslím v 0,
bude to 0² lomeno 2, což je...
Zapíšu to. 0² lomeno 2 plus 0. To celé se bude rovnat prostě 0. Minus to celé vyčíslené v -1. Takže minus -1² lomeno 2 plus -1. -1² je prostě 1.
Takže to je 1/2 plus -1. 1/2 plus -1,
neboli 1/2 minus 1, to je -1/2. Takže celé toto je rovno -1/2. Ale my odečítáme -1/2,
0 minus -1/2, to bude rovno +1/2. Takže toto bude rovno +1/2. Tato první část je tedy +1/2. A teď spočítejme integrál
od 0 do 1 kosinu π... Nepotřebuji tu první závorku. Kosinu πx dx. Čemu je to rovno? Když hledáme integrál kosinu x,
je to jednoduché. Víme, že derivace podle x
sinu x se rovná kosinus x. Ale to my tady nemáme,
my máme kosinus πx. Na to máme metodu,
říkáme jí substituční metoda. Můžeme říct,
že "u" se rovná πx. Pokud nevíte, jak na to,
stále se to dá nějak vymyslet. Mohli bychom si třeba říct,
že by tady nějak mohl figurovat sinus πx. Derivace podle x sinu πx by byla co? Použijeme derivaci složené funkce. Bude to derivace vnější funkce
s vnitřní funkcí jako argumentem, neboli derivace sinu s argumentem πx,
což nám dá kosinus πx, a pak krát derivace
vnitřní funkce podle x. Takže to by bylo krát π. Nebo můžeme říct,
že derivace sinu πx je π kosinus πx. Skoro už to máme,
ale tady potřebujeme π. Co kdybychom tady přidali π,
ale abychom nezměnili hodnotu výrazu, vynásobíme to ještě 1 lomeno π? Když to vydělíme
a vynásobíme stejným číslem, nezmění se hodnota výrazu. 1 lomeno π krát π je rovno 1.
Ale je to užitečné. Je to užitečné,
protože teď víme, že π kosinus πx
je derivací sinu πx. Takže toto celé bude rovno... Toto je rovno 1...
Jen tady... 1 lomeno π.
Je to rovno 1 lomeno π krát... Teď to vyčíslíme.
Integrál tohoto, jak jsme už řekli, je sinus πx, a vyčíslíme to pro 1 a 0. Takže toto bude rovno 1 lomeno π... 1 lomeno π, ne π.
Moje ruká neposlouchá, co říkám. 1 lomeno π krát sinus π minus sinus π krát 0,
což je 0. Sinus π, to je 0.
Sinus 0 je 0. Takže máme 1 lomeno π
krát 0 minus 0. Takže toto celé se bude rovnat 0. První část tedy byla 1/2,
tato druhá část je rovna 0, takže celý určitý integrál
bude roven 1/2 plus 0, což je rovno 1/2. Takže to vše dohromady je rovno 1/2.