Hlavní obsah
Kurz: Integrální počet > Kapitola 1
Lekce 4: Určité integrály elementárních funkcí- Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny
- Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny
- Určitý integrál racionální funkce
- Určitý integrál odmocniny
- Určitý integrál goniometrické funkce
- Určitý integrál s přirozeným logaritmem
- Určitý integrál: základní funkce
- Určitý integrál po částech definované funkce
- Určitý integrál z absolutní hodnoty
- Určitý integrál po částech definované funkce
Určitý integrál z absolutní hodnoty
Vypočítáme si určitý integrál z funkce f(x)=|x+2| s mezemi -4 a 0.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme funkci f(x) rovnu
absolutní hodnotě z x plus 2. A my chceme spočítat určitý integrál
od -4 do 0 f(x) dx. A jako obvykle si zastavte video
a zjistěte, jestli to zvládnete sami. Ze začátku se možná trochu zarazíte, protože jak zintegrovat
funkci s absolutní hodnotou? Řešením je,
nebo tedy jednou možností je, že přepíšeme f(x)
bez absolutní hodnoty, a to můžeme udělat tak,
že ji nadefinujeme po částech. A uděláme to tak,
že se zamyslíme nad intervaly, ve kterých cokoli,
co dáme do absolutní hodnoty, dá kladnou hodnotu,
a nad intervaly, kde všechno,
co bude v absolutní hodnotě, bude záporné. A ten bod,
ve kterém se to bude měnit, je ten, kdy x plus 2 je rovno 0,
neboli když x je rovno -2. Vezměme tedy intervaly
x je menší než -2 a x je větší nebo rovno -2. Tady by mohlo být menší nebo rovno
a tady by pak bylo větší než, v obou případech by to vyhovovalo
této absolutní hodnotě, je to spojitá funkce. Pojďme na ten lehčí případ. Když je x větší nebo rovno -2,
x plus 2 bude kladné, neboli bude větší nebo rovno 0, takže absolutní hodnota
bude prostě x plus 2. Bude to tedy x plus 2
pro x větší nebo rovno -2. A co když je x menší než -2? Když x je menší než -2,
x plus 2 bude záporné, a když vezmeme
absolutní hodnotu záporného čísla, dostaneme jeho opačnou hodnotu. Takže toto bude -(x plus 2). A abyste to opravdu pochopili,
protože toto je upřímně ta nejtěžší část a je to spíš algebra
než diferenciální počet, nakresleme si tu absolutní funkci,
aby to bylo jasné. Takže toto je moje osa x,
toto je moje osa y a řekněme, že tady je -2. A když je to menší než -2,
když x je menší než -2, můj graf bude vypadat takto. Bude vypadat nějak...
Bude vypadat nějak takto. A když je to větší než -2... Udělám to jinou barvou. Když je to větší než -2,
bude to vypadat takto. Bude to vypadat takto. Všimněte si, že to modré
je graf x plus 2, můžeme říct,
že je to graf y rovná se x plus 2. A to fialové tady,
to je graf -x minus 2. Má klesající sklon
a protíná osu y v -2. Takže to dává smysl.
Je několik způsobů, jak to zdůvodnit. Když to máme rozdělené,
můžeme rozdělit ten integrál. Můžeme říct,
že toto napsané tady je rovno integrálu od -4 do 2,
pardon od -4 do -2 f(x), což v tomto případě
bude -x minus 2. Jen jsem tady roznásobil
závorku tím minusem. dx a pak plus určitý integrál od -2 do 0
x plus 2 dx. A jen abychom opravdu věděli,
co tady děláme, když tady je -4
a tady je 0, ten první integrál je tato oblast tady. To je oblast pod křivkou -x minus 2, pod tou křivkou nebo tedy přímkou,
a nad osou x. A ten druhý integrál je tato oblast mezi x plus 2
a osou x od -2 do 0. Pojďme si je tedy vyčíslit,
a to bychom byli schopní udělat i pomocí obsahu trojúhelníků,
ale udělejme to algebraicky. Takže jaký je integrál -x?
To je -x² lomeno 2, a pak máme -2,
ten integrál bude -2x, a vyčíslíme to v -2 a v -4. Takže kolik to bude? -2²,
bude to zápor z -2². Takže -4 lomeno 2
minus 2 krát -2. Takže plus 4. Takže to je vyčíslené v -2. A teď minus
integrál vyčíslený v -4. Takže minus -4², to je 16,
lomeno 2, minus 2 krát -4.
Takže plus 8. Takže kolik nám to dává? Toto je -2,
toto je -8, takže ten druhý člen bude roven 0.
Udělal jsem to správně? Ano, 16 lomeno 2,
je to záporné a to kladné. Takže toto bude 0. A toto je -2 plus 4,
což bude rovno 2. Takže toto fialové je rovno 2. A to, co je modře,
ten integrál je x² lomeno 2 plus 2x,
vyčíslíme to v 0 a -2. Když to vyčíslíme v 0,
bude to 0, a od toho odečteme -2² lomeno 2, to je +4 lomeno 2,
to je +2. A pak plus 2 krát -2,
takže -4. Takže toto bude -(-2),
tedy +2. Takže 2 plus 2.
A to dává smysl. To fialové tady je 2
a toto tady je 2, je to symetrické.
Je to symetrické. A když to vše sečteme, dostaneme,
že náš integrál je roven 4. A jenom pro kontrolu
bychom mohli říct, že výška tady je 2,
šířka, základna je 2. 2 krát 2 krát 1/2
je opravdu rovno 2. To stejné tady. Takže to je geometricky ukázáno, proč je tato oblast rovna 2,
tato oblast rovna 2 a když je sečteme,
dostaneme +4.