If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Substituce: zvláštní použití

Použijeme substituci v situaci, která je trochu jiná než "klasická" substituce. Zde nám substituce pomůže s tím, abychom vzali docela zmatený výraz a upravili ho tak, že bude jednodušší ho zintegrovat. Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Čelíme neurčitému integrálu (x plus 3) krát '(x minus 1) na pátou' dx. Mohli bychom to vyřešit roznásobením. Využili bychom binomické věty. To bychom vynásobili (x plus 3) a dostali bychom nějaký polynom. Takto bychom mohli postupovat. Nebo bychom provedli nějakou substituci, která by tento výraz zjednodušila. Abychom dostali výraz, jehož integrace je snazší. Toto nebude klasická substituce, kde bychom hledali k výrazu jeho derivaci. Je to typ substituce, která nám výraz zjednoduší. Zkusme to tedy. Máme tu (x minus 1) na pátou. To by bylo otravné roznásobovat. Bylo by fajn tu mít jen 'u na pátou'. Položme tedy toto rovno 'u'. 'u' se rovná (x minus 1). V tomto případě se 'du' rovná 'dx'. 'du podle dx' je rovno 1. Derivace x je 1, derivace -1 je 0. To jsou ekvivalentní tvrzení. Uděláme-li toto, jak nám ten výraz vyjde? Bude to rovno… Máme tu (x plus 3), to není ani 'u' ani 'du'. Popřemýšlejme tedy, co s tímto. Je-li 'u' rovno (x minus 1), přičteme 1 k oběma stranám rovnice. Pak je (u plus 1) rovno 'x'. Za 'x' tedy dosadíme (u plus 1). Udělejme to tedy. V podstatně dosazujeme za 'x'. 'x' je rovno (u plus 1). Zkouším, co se dá dělat, abych ten výraz zjednodušil. 'x' je (u plus 1), pak tu máme plus 3, krát '(x minus 1) na pátou'. (x minus 1) je 'u', to je to zjednodušení, které jsme chtěli. …tedy krát 'u na pátou'. 'dx' je to samé jako 'du'. Posunulo nás to někam? Můžeme to upravit tak, abychom snadno spočítali integrál? Zdá se, že ano! Podívejme se. Můžeme to přepsat. Tento výraz je (u plus 4). …krát 'u na pátou', krát du. Jak to tedy vše zjednodušilo? '(x minus 1) na pátou' by bylo složité rozložit. 'u na pátou' je ale jednoduché. (x plus 3) jsme převedli na (u plus 4), což je stále přímočarý výraz. Teď lze roznásobit 'u na pátou'. Dostaneme 'u na šestou' plus 4 krát 'u na pátou'. To už lze snadno zintegrovat. Teď se můžete ptát: „Sale, jak jsi věděl, že 'u' bude rovno tomuto?“ Co se týče integrování, častokrát musíte použít pokus-omyl. Integrace je tak trochu umění. V tomto případě to bylo kvůli tomu, že '(x minus 1) na pátou' je složité. 'u na pátou' to může udělat snazší. To nakonec také fungovalo. Mohli byste zkusit 'u' rovno (x plus 3), ale to by věci nezjednodušilo tak hezky. Dokončeme tedy tento příklad. Toto bude primitivní funkce k 'u na šestou'. To je 'u na sedmou' lomeno 7. Plus primitivní funkce k 'u na pátou', což je 'u na šestou' lomeno 6. Ještě to násobíme 4, takže 4 krát 'u na šestou' lomeno 6. Nakonec plus C. (4 lomeno 6) je rovno (2 lomeno 3), celé to tedy můžeme přepsat. 'u na sedmou' lomeno 7 plus (2 lomeno 3) krát 'u na šestou' plus C. Teď jen dosadíme za 'u'. 'u' je rovno (x minus 1). '(x minus 1) na sedmou' lomeno 7 plus (2 lomeno 3) krát '(x minus 1) na šestou', plus C. A jsme hotovi! Byli jsme schopni spočíst tento složitý integrál. Mohl by být složitý, pokud bychom to měli roznásobit. Pomocí substituce jsme úspěšně našli primitivní funkci.