Pravděpodobnostní rozdělení
Přihlásit se
Pravděpodobnostní rozdělení (7/7) · 16:55

Střední hodnota binomického rozdělení Střední hodnota náhodné proměnné s binomickým rozdělením.

Navazuje na Kombinatoriku.
... Minule jsme se věnovali střední hodnotě náhodné proměnné, což je v tomto případě aritmetický průměr populace. V případě, že máme náhodnou proměnnou populace, která je nekonečně veliká, nelze vzít všechny její hodnoty a zprůměrovat je. V tomto případě je nutné zjistit četnost nebo pravděpodobnost. Jde o pravděpodobnost, která je vážená. V minulém videu jsme ukázali, že jde o stejnou věc. Sečteme všechny členy dohromady a podělíme je počtem hodnot s tím, že metoda fungovala pro nekonečný počet členů, pro nekonečně veliké populace. Tu představuje náhodná proměnná. Můžeme opakovat pokusy a vytvářet náhodné proměnné. Potom spočítáme střední hodnotu konkrétního binomického rozdělení, které právě zkoumáme. Zejména jde o případ házení mincí. Zde se dozvíte, jaká je rovnice pro průměr, nebo spíše střední hodnotu binomického rozdělení. Říkáme, že náhodná proměnná x je rovna počtu úspěchů. ... Počet úspěchů s pravděpodobností p po n pokusech. Toto je obecnější vyjádření téhož. Jde o počet úspěšných hodů hlavy, která má pravděpodobnost 0,5 po deseti hodech. Což je identické, a zde je to obecnější. Teď spočítáme střední hodnotu tohoto rozdělení. Pokud zjistíme pravděpodobnostní rozdělení této náhodné proměnné, získáme binomické rozdělení, jehož křivka bude mít tvar zvonu. O těchto křivkách si povíme později. Před tím, než si ji ukážeme, toto je výsledek. Výsledek je do určité míry intuitivní. Střední hodnota této náhodné proměnné je n krát p, nebo také lze napsat p krát n. Teď si to ukážeme prakticky. Takže, pokud je X--a teď změním barvu-- Pokud je x rovno počtu košů, které hodím. Tedy v basketbalu. Počet košů po deseti hodech, přičemž mám pravděpodobnost, že budu skórovat, například 40 %. Střední hodnota počtu košů po deseti hodech je známá. Střední hodnota pro počet košů po deseti hodech, přičemž každý hod má 40% pravděpodobnost, že se trefí, je násobek pravděpodobnosti krát počet hodů. Vynásobím pravděpodobnost krát počet hodů. To se rovná 4. Nelze se na střední hodnotu dívat pouze jako počet hodů, které očekáváme, že se trefí do koše, protože někdy funguje rozdělení pravděpodobnosti trochu neočekávaně. Ale v binomickém rozdělení se lze na to tak dívat. A to, že jde o počet hodů, u který se čeká, že se trefíme do koše. Nebo se na to lze dívat jako na nejpravděpodobnější výsledek. Tedy, pokud máte 40 % úspěchu, pak při 10 hodech je nejpravděpodobnější skóre 4 koše. Lze jistě trefit 6 košů nebo jen 3, ale tohle bude nejpravděpodobnější výsledek. Lze o tom přemýšlet také intuitivně: že pokaždé, když hodím míč, mám 40% šanci, že se trefím. Takže pokaždé jakoby hodím 40 % koše. A po deseti hodech to dá 4 celé koše. Tento způsob je možná víc intuitivní. Teď přineseme důkaz, že to je pravda pro každou náhodnou proměnnou, která je charakterizována binomickým rozdělením. V binomickém rozdělení, jaká je pravděpodobnost, že X je rovno k? Teď je to trochu složitější úvaha. Jaká je pravděpodobnost v naší basketbalové analogii? Jaká je pravděpodobnost, že trefím 3 koše, nebo něco podobného. To je náš případ. Ukázali jsme si, že pokud hodím míč n krát, vybereme k hodů. Což jsme udělali několikrát v předchozích videích. Pak to vynásobíme pravděpodobností jakéhokoliv z těchto konkrétních případů. Takže při k hodech, to bude pravděpodobnost, že se trefím do koše, což je p na k-tou: p krát p... k krát To je pravděpodobnost, že se trefím do koše k krát. A zbytek hodů se netrefím. Pravděpodobnost, že se netrefím je 1 mínus p. Kolik je to hodů? Při k hodech, zbytek hodů jsem se netrefil. Netrefím se n mínus k hodů. V binomickém rozdělení je toto pravděpodobnost, že se dosáhne k úspěchů. Ukázali jsme si, že střední hodnota náhodné proměnné je suma vážená pravděpodobností. Nechci do toho vnášet zmatek: to je všechno, co je potřeba si vzít z tohoto videa. A to je již úspěch. Teď to bude trochu technické, ale pomůže to lépe pochopit použité značení, např. sigma pro sumu. Teď již víte víc o binomických koeficientech. Takže jsme zjistili, že střední hodnota je suma vážená pravděpodobností každého z těchto případů. Vezme se pravděpodobnost, že X je rovno k, krát k, a pak se to sečte pro každý možný případ. Jak se to napíše? Střední hodnota X, střední hodnota náhodné proměnné charakterizované binomickým rozdělením je rovno součtu, sumě. ... Sumě všech hodnot, kterých k může nabývat. Takže k začne na 0--v basketbalové verzi se mi nepodařilo trefit ani jednou--až k n, což znamená, že se mi podařilo proměnit n hodů na koše. Pro každý případ vynásobíme k, takže ve výsledku hodím k krát, krát pravděpodobnost, že se trefím k krát do koše. Jaká je pravděpodobnost, že se trefím k krát do koše? To je tento případ. Bude to k krát n nad k krát p na k krát 1, mínus p na n mínus k. Teď trochu algebry. Můžeme tomu říkat sigma algebra. První zjednodušení je, suma k rovno 0 až k n. První člen zde bude mít k rovno 0. Toto bude 0 v prvním členu. Pak tento první člen je 0, a toto celé bude 0, a pak člen 'k je rovno 0' nepřispěje nijak k celkové sumě, protože tato celá část bude rovna 0. Tato suma může být rozepsána jako 0 krát n nad 0 krát p na 0 krát 1 mínus p na n mínus 0. Plus 1 krát n nad 1 krát p na 1 krát 1 mínus p na n mínus 1. Pak budeme sčítat, až se dostaneme k je rovno n. Bude to n krát n nad n krát p na n, krát 1 mínus p, n mínus n. Což je jen jiný způsob zapsání této sumy. První člen pak bude roven 0, protože k je rovno 0. 0 krát cokoli je 0. Takže tento člen můžeme vypustit a přepsat sumu jako Tuto sumu zde. ... Pokud to uděláme, přepíšeme celou věc zde. Takže střední hodnota náhodné proměnné je rovna této sumě. Nemusíme jít od k rovno 0, můžeme začít k rovno 1. Od k rovno 1 až k n, to je stejné. k krát n nad k krát p na k, krát 1 mínus p, n mínus k. Tak, co teď. Zbavili jsme se prvního členu, protože tím zjednodušíme rovnici na výsledek, který potřebujeme. Vypíšeme binomický koeficient a uvidíme, co s tím. Podívejte. Můj iPod synchronizuje. Toho se zbavíme. Takže, kde jsme byli? Toto je rovno--teď vypíši binomický koeficient. k je rovno 1 až n. k krát--toto zde je faktoriál n lomeno faktoriál k lomeno faktoriál n mínus k. Krát po na k krát 1 mínus p na n mínus k. Zde to jde zjednodušit, protože co je k lomeno faktoriál k? Můžeme to napsat jako faktoriál k je k krát k mínus 1 krát k mínus 2, atd. až k 1. Toto je faktoriál k. Faktoriál k lze napsat jako k krát faktoriál k mínus 1. To je k krát, a pak číslo o 1 menší a pak k krát všechna čísla pod tím. Přepíšeme to na k krát faktoriál k mínus 1. A teď mohu vyrušit toto k s tamtím k. Teď to přepíši, celé znovu. Po zjednodušení se to rovná sumě od k je rovno 1 do n, faktoriálu n lomeno faktoriál k mínus 1. Krát faktoriál n mínus k krát p na k krát 1 mínus p na n mínus k. Uděláme další zjednodušení. Cíl už je tedy na dohled. To se zjednoduší na n krát p. Teď zkusíme vyčlenit n krát p a pak uvidíme, zda se zbytek dá proměnit na 1, a to bude konec. Přepíšeme faktoriál n pomocí stejné metody jako nahoře. Faktoriál n se přepíše jako n krát faktoriál n mínus 1, je to stejná úvaha. A pak p na k se může napsat jako p krát p na k mínus 1. Pak můžeme vyčlenit toto n a toto p a máme rovno na np krát suma od k je rovno 1 do n, a čeho? Po vyčlenění n a p. faktoriál n mínus 1 lomeno faktoriál k mínus 1 krát faktoriál n mínus k. Krát p na k mínus 1. To není dělitel. Krát 1 mínus p na n mínus k. A jsme skoro na konci. Chceme zjistit střední hodnotu naší proměnné. To je rovno tomuto. Budeme hotovi, pokud se tato část bude rovnat 1. Abychom toho dosáhli, musíme to zjednodušit pomocí náhrady. Nahradíme, řekněme a je rovno k mínus 1. A také b je rovno n mínus 1. Pak se n mínus k rovná čemu? To uvidíme. Pokud a je rovno k mínus 1, pak a plus 1 je rovno k. A potom zde, b plus 1 je rovno n, takže pak n mínus k bude rovno tomuto, a plus 1 mínus toto. Mínus b mínus 1, to se vyruší. Což je rovno a mínus b. Zkusíme to dál zjednodušit. Tato suma pak bude np krát suma od--když k je rovno 1, to je stejné-- když k je rovno 1, čemu se rovná a? a je rovno 0. Od a rovno 0 do--když k je rovno n, čemu se a bude rovnat? Pokud toto je rovno n, pokud k je n, pak a je rovno n mínus 1. Máme a rovno a až k a rovno n mínus 1. Ale n mínus 1 je stejná věc, jako b. Takže můžeme přepsat sumu. Tady to může být trochu matoucí. Možná si chcete video na chvíli zastavit a promyslet si to. A už teď trochu protahuji, takže si pospíším. Potom máme b, které je rovno n mínus 1. Takže to bude faktoriál b lomeno k mínus 1, což je v naší definici a rovno a. To je faktoriál a. A pak zde, n mínus k by mělo být Podívejme. Otočil jsem toto, n mínus, to by mělo být b mínus a. n mínus k, správně. n je b plus 1, takže to je b plus 1 mínus a plus 1. Mínus a, mínus 1. Takže jedničky se vyruší a zbude b mínus a. Takže z n mínus k se stane faktoriál b mínus a. A pak p od k mínus 1--k mínus 1 je p na a. A pak krát 1 mínus p to na n mínus k. Už jsme viděli, že n mínus k je stejné, jako b mínus a. A pak zde, a už je to skoro hotové. Zde, co je to? To je pravděpodobnost, teď to zjednoduším. Je to rovno np krát suma od a rovno 0 do b. A to je co? To je b nad a. Mám b věcí a chci z nich vybrat a věcí: kolika různými způsoby mohu, krát p na a krát 1 mínus p na b mínus a. Což je? To jsou všechny možnosti binomického rozdělení. Jaká je pravděpodobnost, že a je rovno 0? To je pravděpodobnost pro každé a. To se sečte pro všechna a, která lze dosáhnout. Takže, kdybych měl načrtnout to rozdělení, pokud a je rovno 0, toto je pravděpodobnost. Pak pravděpodobnost, že a je rovno 1, a pak další pravděpodobnost, a to se zvyšuje Pak se stáčí do tvaru zvonu. Tato část zde je složena z toho Každý obdélník přestavuje jeden z případů. Když a je rovno 0, jde o tento případ. Když a je rovno 1 jde o tento příapd. Když a je rovno 2 jde o tento případe, až k b počtu případů. Sečteme je, a tak sečteme pravděpodobnosti. Sečteme všechny hodnoty, které může naše náhodná proměnná dosáhnout. Takže, pokud jsme vyřešili všechny pravděpodobnosti, které náhodná proměnná může mít, sečteme je přes všechny hodnoty. To bude rovno 1. To je stejné, jako tvrdit, že toto je pravděpodobnost, že padne hlava, plus pravděpodobnost, že padne orel. Nebo také lze říct, že toto je pravděpodobnost, že padne jedna hlava plus pravděpodobnost, že padnou 2 hlavy, plus pravděpodobnost, že padnou 3 hlavy, plus pravděpodobnost, že padnou 4 hlavy, až k pravděpodobnosti, že padnou b hlavy. To jsou všechny případy, které mohou nastat. To je suma celého rozdělení pravděpodobnosti, a to je rovno 1. Zbývá nám střední hodnota naší náhodné proměnné X, což je rovno n krát p. Přičemž n je počet pokusů a p je pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu. To platí pouze binomická rozdělení. Neplatí to pro jakoukoli náhodnou proměnnou X. Pouze skutečně náhodnou proměnnou X, jejíž rozdělení pravděpodobnosti je binomické. Tak už dochází čas. Uvidíme se příště. ...
video